ഗണിതയുക്തി : ഫുട്ബോള്‍ ടൂർണമെന്റും തീവണ്ടിപ്രശ്നവും

[author title=”ഡോ. എൻ ഷാജി” image=”http://luca.co.in/wp-content/uploads/2016/10/DrNShaji.jpg”].[/author]

ഗണിതത്തിലെ യുക്തി പലപ്പോഴും അതിശക്തമാണ്, മൂർച്ചയുള്ളതാണ് അതോടൊപ്പം രസകരവുമാണ്. ഒന്നുരണ്ട് ഉദാഹരണങ്ങളിലൂടെ ഇതു വ്യക്തമാക്കാം.

ഫുട്ബോൾ ടൂർണമെന്റ്

ഒരു ഫുട്ബോൾ ടൂർണമെന്റ് സംഘടിപ്പിക്കണം. ആകെ 32 ടീമുകൾ. ഓരോ മത്സരവും നോക്കൗട്ട് രീതിയിലാവണം. അതായത് മത്സരങ്ങൾ ഡ്രോയിൽ അവസാനിക്കില്ല. ഷൂട്ടൗട്ട് നടത്തിയിട്ടായാലും ഒരു ടീം പുറത്താകും.

അങ്ങനെയെങ്കിൽ ചാമ്പ്യൻ ടീമിനെ തിരഞ്ഞെടുക്കാൻ എത്ര കളികൾ വേണ്ടിവരും. മിക്കവരും ആലോചിക്കുക ഇപ്രകാരമാകും. 32 നെ 2 ടീമുകൾ വീതമുള്ള 16 ഗ്രൂപ്പുകളിലാക്കി ആദ്യ റൗണ്ട് മത്സരങ്ങൾ നടത്തുക. വിജയികളാകുന്ന 16 ടീമുകളെ 8 ഗ്രൂപ്പുകളാക്കി മത്സരിപ്പിക്കുക. ഒടുവിൽ 16+8+4+2+1= 31 കളികൾക്കു ശേഷം ചാമ്പ്യനെ കണ്ടെത്താം. ഉത്തരം ശരി തന്നെ. ഇനി ചോദ്യം ഒന്നു മാറ്റി, തുടക്കത്തിൽ 25 ടീം എന്നു പറഞ്ഞിരുന്നെങ്കിൽ കാര്യം കുറച്ചു കൂടി കുഴഞ്ഞുമറിയും.

അതിനുത്തരം തേടുന്നതിനു മുന്‍പ്  ആദ്യചോദ്യത്തിലേക്ക് ഒന്ന് തിരിച്ചു പോയി തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ മറ്റൊരു യുക്തി ഉപയോഗിച്ചു നോക്കാം. ഓരോ മത്സരത്തിൽ ഓരോ ടീം ആണല്ലോ പുറത്താകുക. അപ്പോള്‍  32-ൽ നിന്നും ഒന്നൊഴികെ മറ്റെല്ലാ ടീമിനേയും പുറത്താക്കാൻ 32 – 1 = 31 കളികൾ മതി. ഇതു പോലെ 25 ടീം വെച്ചു തുടങ്ങുകയാണെങ്കിൽ 24 മാച്ചുകൾ മതിയല്ലോ?

തീവണ്ടി പ്രശ്നം 

അടുത്തതു് കുറച്ചു കൂടി പ്രസിദ്ധമായ പ്രശ്നമാണ്. പരസ്പരം 150 കിലോമീറ്റർ അകലത്തിലുള്ള രണ്ടു റെയിൽവേ സ്റ്റേഷനുകളിൽ നിന്ന് രണ്ടുട്രയിനുകൾ ഒരേ സമയം എതിർ സ്റ്റേഷനെ ലക്ഷ്യമാക്കി പുറപ്പെടുന്നു. അവയുടെ വേഗത മണിക്കൂറിൽ 50 കിലോമീറ്റർ. അതോടൊപ്പം തന്നെ ആദ്യ ട്രെയിനിൽ നിന്ന് ഒരു പക്ഷി രണ്ടാമത്തെ ട്രെയിനുനേരെ പറക്കുന്നു. അതിന്റെ വേഗത മണിക്കൂറിൽ 100 കിലോമീറ്റർ, അതായതു് ട്രെയിനിന്റെ ഇരട്ടി വേഗത്തിൽ. എതിരേ വരുന്ന ട്രെയിനിന്റെ അടുത്തെത്തിയ ഉടനെ പക്ഷി അതേ വേഗത്തിൽ തിരിച്ചും പറക്കുന്നു. ട്രെയിനുകൾ പരസ്പരം ഇടിക്കും വരെ പക്ഷി ഇതേ പണി തുടർന്നാൽ അത് ആകെ പറന്ന ദൂരം എത്രയാണെന്നതാണ് പ്രശ്നം. ഇതു നിർധാരണം ചെയ്യാൻ നേരെ ചൊവ്വേ ഉപയോഗിക്കാവുന്ന യുക്തി പ്രയോഗിച്ചാൽ ഒരു മണിക്കൂർ കഴിയുമ്പോൾ പക്ഷി 100 കി.മീ. പറക്കുമ്പോഴേക്കും എതിരേ വരുന്ന ട്രെയിൻ 50 കി.മീ. സഞ്ചരിച്ച് പക്ഷിയുടെയടുത്ത് എത്തിയിട്ടുണ്ടാകും എന്നു മനസ്സിലാകും. ഉടനെ പക്ഷി തിരിച്ചു പറക്കും. ഇത്തവണ 100/3 കി.മീ. പറന്നാൽ മതിയാകും എന്നു കണക്കാക്കിയെടുക്കാം. അടുത്ത തവണ അത് 100/9 ആകും. ആകെ ദൂരം കണക്കാക്കാൻ നോക്കിയാൽ അത് ഒരു അനന്തശ്രേണിയാകും. 100×(1+1/3+1/9+1/27+•••). കുറച്ചു പാടുപെട്ടാൽ ഇതു കൂട്ടിയെടുത്ത് 150 കി.മീ. എന്ന ശരിയായ ഉത്തരം ലഭിക്കും. പക്ഷേ അനന്തശ്രേണിയുടെ തുക കാണുന്ന വിദ്യയൊക്കെയറിയണമെന്ന് മാത്രം.

എന്നാൽ ഇതിൽ നിന്നും തികച്ചും വ്യത്യസ്തമായ മറ്റൊരു രീതിയിലും ഇതേ പ്രശ്നം നിർധാരണം ചെയ്യാം. ഓരോ ട്രെയിനും 75 കി.മീ. വീതം യാത്ര ചെയ്യുമ്പോൾ പകുതി വഴിയിലെത്തി കൂട്ടിമുട്ടും. ഇരട്ടി വേഗത്തിൽ പറക്കുന്ന പക്ഷി ഇതേ സമയം കൊണ്ട് 150 കി.മീ. സഞ്ചരിച്ചു കാണുമല്ലോ? എത്ര മനോഹരമായ യുക്തി, അല്ലേ?

[box type=”info” align=”” class=”” width=””]ഇതിനൊരു വാൽക്കഷണം കൂടിയുണ്ട്. വേഗത്തിൽ കണക്കുകൂട്ടലുകൾ നടത്തുന്നതിൽ ബഹുകേമനായിരുന്ന ജോൺ ഫോൻ നോയ്മാന്റെ (John von Neumann) അടുത്ത് ഒരു സുഹൃത്ത് ഇതേ ചോദ്യം അവതരിപ്പിച്ചപ്പോൾ അദ്ദേഹം ഉടനെ തന്നെ കൃത്യമായ ഉത്തരം നൽകി. അപ്പോൾ സുഹൃത്തു പറഞ്ഞു. നിങ്ങൾ ആളു കൊള്ളാം. പലരും ഇതു അനന്തശ്രേണിയുടെ രൂപത്തിലാക്കി സമയം കളയും. അപ്പോൾ താനും  അങ്ങനെ തന്നെയാണ് അതു ചെയ്തതെന്ന് നോയ്മാൻ പറഞ്ഞപ്പോഴാണ് സുഹൃത്ത് ശരിക്കും ഞെട്ടിയത്.[/box]