Read Time:13 Minute

എൻ.സാനു

ശാസ്ത്രലേഖകൻ

ലൂക്ക എഡിറ്റോറിയൽ ബോർഡംഗം

നവംബർ 23 ഫിബനാച്ചി ദിനമാണത്രേ. മധ്യകാലഘട്ടത്തിലെ പ്രമുഖ ഗണിതജ്ഞന്മാരിൽ ഓരാളായിരുന്ന ഇറ്റലിയിലെ പിസയിലെ ലിയോനാർഡോ ഫിബനാച്ചി (Leonardo Fibonacci) യോടുള്ള ആദരസൂചകമായാണ് ഈ ദിനം ആചരിക്കപ്പെടുന്നത്. അദ്ദേഹത്തിന്റെ പേരിൽ അറിയപ്പെടുന്ന ഗണിതശ്രേണിയാണ് ഫിബനാച്ചി ശ്രേണി. 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21…. എന്നിങ്ങനെയാണ് ഈ ശ്രേണി. അടുത്തടുത്ത രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ തൊട്ടടുത്ത സംഖ്യ കിട്ടുന്ന രീതിയിലാണ് ഇതിന്റെ തുടർച്ച. ഇന്ത്യൻ കവിയും ജൈനപണ്ഡിതനുമായിരുന്ന ആചാര്യ ഹേമചന്ദ്രനും ഇത്തരം ഒരു ശ്രേണിയെ പറ്റി ഫിബനാച്ചിക്കും അര നൂറ്റാണ്ടു മുമ്പ് വിവരിച്ചിരുന്നതായി രേഖയുണ്ട്. അതാനാൽ ഈ ശ്രേണിയെ ഹേമചന്ദ്ര ശ്രേണി എന്നും വിളിക്കാറുണ്ട്.

നവംബർ 23-ഉം ഫിബനാച്ചി ശ്രേണിയും

ഫിബനാച്ചി ശ്രേണിയിലെ ആദ്യത്തെ രണ്ട് സംഖ്യകളെ മാസമായും പിന്നീടുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളെ തീയതിയായും കണക്കാക്കിയാൽ നമുക്ക് 11/23 എന്ന തീയതി, അതായത് നവംബർ 23 കിട്ടുന്നു. അതാണ് ഫിബനാച്ചി ദിനം.

ഫിബനാച്ചി ശ്രേണി

ഒരു സംഖ്യാശ്രേണിയിലെ ഏതൊരു സംഖ്യയും അതിന്റെ തൊട്ടുമുമ്പുള്ള രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുകയായി വരികയാണെങ്കിൽ ആ ശ്രേണിയെ ഒരു ഫിബനാച്ചി ശ്രേണി എന്നുവിളിക്കുന്നു. മറ്റൊരു വിധത്തിൽ പറഞ്ഞാൽ, ശ്രേണിയിലെ അടുത്തടുത്ത രണ്ട് സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ തൊട്ടടുത്ത സംഖ്യ ലഭിക്കും.

ഫിബനാച്ചി ശ്രേണിയിൽ ആദ്യ സംഖ്യ 1 ആയി കണക്കാക്കിയിരിക്കുന്നു.
ഒന്നാം സംഖ്യയുടെ കൂടെ കൂട്ടാൻ അതിനു മുമ്പ് ഒരു സംഖ്യ ഇല്ലാത്തതിനാൽ, തൊട്ടു മുമ്പുള്ള സംഖ്യയെ പൂജ്യമായി കണക്കാക്കാക്കി, ഒന്നിനോടൊപ്പം പൂജ്യം കൂട്ടി രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയായ 1 ലഭിക്കുന്നു. അതിനാൽ ശ്രേണിയിലെ ഒന്നാമത്തെയും രണ്ടാമത്തെയും സംഖ്യ 1 തന്നെയാണ്.
രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയായ 1-ഉം ഒന്നാമത്തെ സംഖ്യയായ 1-ഉം കൂട്ടി മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയായ 2 ലഭിക്കുന്നു.
മൂന്നാമത്തെ സംഖ്യയായ 2-ഉം രണ്ടാമത്തെ സംഖ്യയായ 1-ഉം കൂട്ടി നാലാമത്തെ സംഖ്യയായ 3 ലഭിക്കുന്നു.
ഇങ്ങനെ നോക്കിയാൽ പത്താമത്തെ സംഖ്യ ലഭിക്കാൻ ഒമ്പതാമത്തെയും എട്ടാമത്തെയും സംഖ്യകൾ കൂട്ടണം എന്നു കാണാം. ഇതിൽ നിന്നും താഴെ പറയും പ്രകാരം ഈ ശ്രേണിയുടെ ഒരു പൊതു സൂത്രവാക്യം ലഭിക്കുന്നു.

F_n = F_(n-1) + F_(n-2)

ഇവിടെ F₀ = 0, F₁ =1 എന്നും n>1 എന്നും അനുമാനിക്കേണ്ടതുണ്ട്.

മുയലിന്റെ കടങ്കഥ

സാങ്കല്പികമായ ഒരു മുയൽക്കണക്ക് ഉന്നയിച്ചുകൊണ്ടാണ് ലിയോനാഡോ തന്റെ ശ്രേണി അവതരിപ്പിക്കുന്നത്.

അതായത്, പിറന്നുവീണ ഒരുജോഡി മുയൽ കുഞ്ഞുങ്ങളെ (ഒരു ആണും ഒരു പെണ്ണും) ഒരു തോട്ടത്തിൽ വളരാൻ അനുവദിക്കുന്നു. ഒരു മാസം കൊണ്ട് ഈ ജോഡി പ്രായപൂർത്തി എത്തുകയും മാസാവവസാനം പെൺമുയൽ ഗർഭം ധരിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. അടുത്ത മാസം അതായത് രണ്ടാം മാസം അവസാനം അത് ഒരു ജോഡി മുയലുകളെ പ്രസവിക്കും (ആണും പെണ്ണും). പ്രായപൂർത്തിയായ മുയലുകൾ ഓരാ മാസവും ഇങ്ങനെ ഒരാണും പെണ്ണും ഉൾപ്പെടുന്ന ജോഡികളെ പ്രസവിച്ചുകൊണ്ടിരിക്കും. എല്ലാ ജോഡി കുഞ്ഞുമുയലുകളും ഒരു മാസം കൊണ്ട് പ്രായപൂർത്തി എത്തുകയും അടുത്തമാസം പ്രസവിക്കുകയും ചെയ്യും. ഒരു മുയൽ പോലും മരിക്കുകയില്ല.

എങ്കിൽ വർഷാവസാനം എത്ര ജോഡി മുയലുകൾ ഉണ്ടാകും?

ഈ പ്രശ്നം എങ്ങനെ പരിഹരിക്കും എന്ന് നോക്കാം.

തുടക്കത്തിൽ നമുക്ക് ഒരു ജോഡി മുയലുകൾ ഉണ്ട്.
ഒന്നാം മാസാവസാനം അവ ഗർഭം ധരിക്കുകയെയുള്ളു, പ്രസവിക്കില്ല. അതായത് അപ്പോഴും നമുക്ക് ഒരു ജോഡി മുയലുകളെ ഉള്ളു.
രണ്ടാം മാസാവസാനം അവ ഒരു ജോഡിയെ പ്രസവിക്കുന്നു. അപ്പോൾ ആകെ 2 ജോഡി മുയലുകൾ.
മൂന്നാം മാസാവസാനം ആദ്യത്തെ ജോഡി വീണ്ടും പ്രസവിക്കും, എന്നാൽ രണ്ടാമത്തെ ജോഡി പ്രായപൂർത്തി ആവുകയെയുള്ളു, അവ പ്രസവിക്കില്ല. അങ്ങനെ മുമ്പുണ്ടായിരുന്ന രണ്ട് ജോഡിയും പിറന്നു വീണ ഒരു ജോഡിയും ചേർന്ന് ആകെ മൂന്ന് ജോഡികൾ.
നാലാം മാസാവസാനം ആദ്യത്തെ രണ്ട് ജോഡിയും പ്രസവിക്കുന്നു. മൂന്നാം മാസം പിറന്ന ഒരു ജോഡി പ്രസവിക്കില്ല. അങ്ങനെ ആദ്യത്തെ 2 ജോഡി, അവയ്ക്ക് പിറന്ന 2 ജോഡി, മൂന്നാം മാസം പിറന്ന 1 ജോഡി ആങ്ങനെ ആകെ 5 ജോഡി.
അഞ്ചാം മാസം നോക്കിയാൽ, കഴിഞ്ഞമാസം ആകെയുണ്ടായിരുന്ന 5 ജോഡിയിൽ, ആ മാസം പിറന്ന 2 ജോഡികൾ പ്രസവിക്കില്ല, ബാക്കിയുള്ള 3 ജോഡി പ്രസവിക്കുന്നു. അങ്ങനെ അവ മൂന്ന് ജോഡിയും അവ പ്രസവിച്ച 3 ജോഡിയും നാലാം മാസം പിറന്ന 2 ജോഡിയും ചേർത്ത് ആകെ 8 ജോഡികൾ.
ഈ പ്രശ്നം മുഴുവനായി പരിഹരിക്കുന്നതിന്റെ ചിത്രീകരണം ചുവടെ ചേർക്കുന്നു.

അങ്ങനെ വർഷാവസാനം നമുക്ക് 233 ജോഡി മുയലുകളെ ലഭിക്കുന്നു.

പട്ടിക നോക്കിയാൽ ഒരു സംഖ്യ കിട്ടാൻ തൊട്ടു മുന്നിലുള്ള രണ്ടു സംഖ്യകൾ കൂട്ടിയാൽ മതി എന്നു കാണാം. അതായത് മുയൽ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരം ഒരു ഫിബനാച്ചി ശ്രേണിയായി വരുന്നു.

ഫിബനാച്ചിയും സുവർണ്ണ അനുപാതവും

രണ്ടു സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതവും, അവയുടെ തുകയും ആദ്യത്തെ സംഖ്യയും തമ്മിലുള്ള അനുപാതവും തുല്യമാണെങ്കിൽ അവ സുവർണ്ണാനുപാതത്തിലാണ് (Golden Ratio) എന്ന് പറയുന്നു. ഗണിതപരമായി പറഞ്ഞാൽ,

ആണെങ്കിൽ a-യും b-യും സുവർണ്ണാനുപാതത്തിലാണെന്ന് പറയാം. ഈ അനുപാതം ഒരു അഭിന്നകമാണ്. ഗണിതപരമായി നിർദ്ധാരണം ചെയ്താൽ ഇതിന്റെ മൂല്യം ഏകദേശം 1.618033988749 എന്ന സംഖ്യയോട് അടുത്തുവരും.

ഇനി നമുക്ക് അടുത്തടുത്ത രണ്ട് ഫിബനാച്ചി സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം നോക്കാം

F₂/F₁ ➔ 1÷1 = 1

F₃/F₂ ➔ 2÷1 = 2

F₄/F₃ ➔ 3÷2 = 1.5

F₅/F4 ➔ 5÷3 = 1.666..

F₆/F₄ ➔ 8÷5 = 1.6

F₇/F₆ ➔ 13÷8 = 1.625

ഇങ്ങനെ തുടർന്നാൽ 20-ആം ഫിബനാച്ചി സംഖ്യയായ 6765-ഉം 19-ആം ഫിബനാച്ചി സംഖ്യയായ 4181-ഉം തമ്മിലുള്ള അനുപാതം 1.618033… എന്ന് കിട്ടും.

F₂₀/F₁₉ ➔ 6765÷4181 = 1.618033

അതായത് ഫിബനാച്ചി സംഖ്യ വലുതാകുംതോറും അടുത്തടുത്ത രണ്ട് സംഖ്യകൾ തമ്മിലുള്ള അനുപാതം സുവർണ്ണാനുപാതമായി മാറുന്നതായി കാണാം.

നീളവും വീതിയും സുവർണ്ണാനുപാതത്തിൽ വരുന്ന രൂപങ്ങൾ കൂടുതൽ സൗന്ദര്യാത്മകമോ മനോഹരമോ ആയി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു.

ഫിബനാച്ചി സർപ്പിളം

ഫിബനാച്ചി സംഖ്യകൾ വശങ്ങളായി വരുന്ന സമചതുരങ്ങളെ താഴെ ചിത്രത്തിൽ കാണുംപോലെ ജ്യാമിതീയമായി കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ചതുരങ്ങളും അവയിൽ അന്തർലീനമായ ഒരു സർപ്പിളവും (spiral) സൃഷ്ടിക്കാനാകും. ഈ സർപ്പിളത്തെ ഫിബനാച്ചി സർപ്പിളം (Fibonacci spiral) എന്നു വിളിക്കുന്നു.

ഇപ്രകാരം സമചതുരങ്ങൾ കൂട്ടിച്ചേർത്തുകൊണ്ടിരുന്നാൽ, അതുവഴി രൂപപ്പെടുന്ന വലിയ ചതുരത്തിന്റെ നീളം വീതി എന്നിവ സുവർണ്ണാനുപാതത്തിൽ ആവുകയും നമുക്കൊരു സുവർണ്ണ സർപ്പിളം (golden spiral) ലഭിക്കുകയും ചെയ്യും.

ഫിബനാച്ചിയും പ്രകൃതിയും

എത്രയോ തവണ നിങ്ങൾ ഫിബനാച്ചിയുടെ സൗന്ദര്യം പ്രകൃതിയിൽ ദർശിച്ചിരിക്കുന്നു, ഒരു പക്ഷെ പലപ്പൊഴും അത് തിരിച്ചറിഞ്ഞിട്ടില്ല എന്നു മാത്രം.

സ്വാഭാവികമായി വളർന്നു വികസിക്കുന്ന ചില ജീവരൂപങ്ങളിൽ നമുക്ക് ഫിബനാച്ചി സർപ്പിളം കാണാൻ കഴിയും. ഉദാഹരണത്തിന് ശംഖിന്റെ സർപ്പിളാകൃതി. അതുപോലെ പൂക്കളുടെ ദളങ്ങൾ അടുക്കിയിരിക്കുന്ന പാറ്റേൺ ശ്രദ്ധിച്ചാൽ ഇതിലും ഇത്തരം സർപ്പിളാകൃതി കാണാൻ കഴിയും.

ചില മരങ്ങൾ ശാഖോപശാഖകളായി വളരുന്നത് ശ്രദ്ധിച്ചാൽ അതിൽ ഒരു ഫിബനാച്ചി ശ്രേണി കണ്ടെത്താൻ കഴിയും. ഗ്യാലക്സികളിലും, എന്തിന് ചുഴലിക്കാറ്റിൽ വരെയും ചിലർ ഫിബനാച്ചിയുടെ സർപ്പിളം ദർശിക്കുന്നു.

ഫിബനാച്ചിയും സൗന്ദര്യവും

സൗന്ദര്യമുള്ള വസ്തുക്കളുടെ രൂപ കല്‌പനയിൽ പലപ്പോഴും ഫിബനാച്ചിയുടെ അനുപാതം കണ്ടെത്താൻ കലാകാരൻമാർക്ക് കഴിഞ്ഞിട്ടുണ്ട്. അഥവാ ഫിബനാച്ചിയുടെ അനുപാതത്തിലുള്ള നിർമ്മാണങ്ങളിൽ സൗന്ദര്യം കണ്ടെത്താൻ മനുഷ്യ മനസ്സിന് സാധിക്കുന്നുണ്ട് എന്ന് കാണാം.

മനുഷ്യമുഖത്തിന്റെ സൗന്ദര്യത്തെ ഫിബനാച്ചി സർപ്പിളത്തിന്റെയും സുവർണ്ണാനുപാതത്തിന്റെയും അളവുകോണിലൂടെ നോക്കിക്കാണാൻ കലാകാരന്മാർ ശ്രമിക്കുന്നുണ്ട്. നൂറ് ശതമാനം വിജയിക്കില്ല എങ്കിലും ഒരു പരിധിവരെ അവർക്ക് അതിൽ വിജയിക്കാനായിട്ടുണ്ട് എന്ന് ഈ ചിത്രം വ്യക്തമാക്കുന്നു.

ഫോട്ടോഗ്രാഫിയിലും പെയിന്റിംഗിലും പലപ്പോഴും ഗോൾഡൻ സർപ്പിളത്തിന്റെ സാധ്യത പ്രയോജനപ്പെടുത്താറുണ്ട്.