മണിമുഴക്കത്തിനും കണക്കുണ്ട് !

നവനീത എം.ആർ

Ariel University, Israel

‘മാഷേ, ഞാനൊരു സംശയം ചോദിച്ചോട്ടേ?’

‘ചോദിച്ചോളൂ.’

‘ചോദിക്കുന്നോണ്ടൊന്നും വിചാരിക്കല്ലേട്ടാ. എന്റെ ക്ലാസ്സിലെ കൂട്ടുകാര് ചോദിക്കണ കാര്യാണേ. എനിക്കും അങ്ങട് ഉത്തരം കിട്ടണില്ല്യാ.’

‘ധൈര്യമായി ചോദിക്കെടോ.’

‘അല്ല മാഷേ, ഈ കണക്ക് പഠിച്ചിട്ട് എന്തുട്ടാ ഗുണം. മ്മള് കുറെ സമവാക്യങ്ങളും സിദ്ധാന്തങ്ങളും അതുമിതും പഠിക്കണുണ്ടല്ലാ. അതുകൊണ്ട് മ്മടെ സമൂഹത്തിന് എന്തേലും ഗുണോണ്ടാ?’

‘ഉം… അത് നല്ല ചോദ്യമാണ്. അതിന് ഉത്തരം പറയുന്നതിന് മുമ്പ് കണക്ക് നമ്മുടെ നിത്യജീവിതത്തിൽ എവിടെയെല്ലാം ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ട് എന്ന് പറയാമോ?’

‘അറിയില്ല മാഷേ.’

‘നമ്മൾ കടയിൽ പലവിധ സാധനങ്ങളും വാങ്ങാൻ പോകാറുണ്ടല്ലോ. അവിടെ കണക്ക് ഉപയോഗിക്കാതിരിക്കാൻ പറ്റുമോ? സാധനങ്ങളുടെ അളവ്, വില തുടങ്ങി ഒരുപാട് കണക്കുകൾ ഉപയോഗിക്കുന്നണ്ട്. അല്ലേ. നമ്മുടെ വീട്ടിൽ പാചകം ചെയ്യുന്നവർക്ക് കണക്ക് ഉപയോഗിക്കാതിരിക്കാൻ പറ്റുമോ? ഇല്ല. ഒരു കറിക്ക് ചേർക്കേണ്ട ചേരുവകളുടെ അംശബന്ധം വീട്ടിലെ അംഗസംഖ്യ പരിഗണിച്ച് നിർണയിക്കണ്ടേ. അപ്പോൾ അവിടെയും കണക്കുണ്ട്. നമ്മുടെ നാട്ടിലെ സാധാരണ തൊഴിലാളികളിൽ നല്ലൊരു വിഭാഗവും ഏതെങ്കിലും സഹകരണ സംഘത്തിലെ ഓഹരിയുടമകളായിരിക്കും. ഈ ഓഹരിയുടമകളുടെ കാര്യക്ഷമമായ പ്രവർത്തനത്തെ ആശ്രയിച്ചായിരിക്കുമല്ലോ സഹകരണ സംഘങ്ങളുടെ പ്രവർത്തന വിജയം. അവിടെ മൂലധനം, ഓഹരിവില, ലാഭവീതം തുടങ്ങിയവയെപ്പറ്റിയുള്ള സൂക്ഷ്മമായ അറിവ് ശരിയായ പ്രവർത്തനത്തിന് ആവശ്യമാണല്ലോ. അപ്പോൾ അവിടെയും കണക്കുണ്ട്. അല്ലേ.’

‘വളരെ ശരിയാണ് മാഷേ.’

‘നിത്യജീവിതത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് ഒഴിച്ചുകൂടാൻ പറ്റാത്ത ഒരു സ്ഥാനമാണുള്ളത്. ഒട്ടനവധി ഗണിതപ്രശ്നങ്ങളാണ് നമ്മൾ എല്ലാ ദിവസവും നേരിട്ടുകൊണ്ടിരിക്കുന്നത്. ഇനി നമുക്ക് മറ്റ് ശാസ്ത്ര വിഷയങ്ങളിൽ കണക്കിന് എന്താണ് ബന്ധം എന്ന് നോക്കാം. ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ ശാസ്ത്രങ്ങളുടെ റാണി എന്നാണല്ലോ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്. എന്തുകൊണ്ടാണത്? മറ്റ് ശാസ്ത്ര വിഷയങ്ങളിൽ നിന്നും വ്യത്യസ്തമാക്കുന്ന ചില ഗുണങ്ങൾ കണക്കിനുണ്ട്. ഒന്ന് അബ്സ്ട്രാക്ഷൻ അഥവാ അമൂർത്തവൽക്കരണം. രണ്ട് പ്രിസിഷൻ അഥവാ സൂക്ഷ്മത. മൂന്ന് ലോജിക്കൽ റിഗർ അഥവാ യുക്തിഭദ്രത. നാല് നിഗമനങ്ങളുടെ അനിഷേധ്യത . ഇവ കൂടാതെ കണക്കിന് മറ്റ് ശാസ്ത്ര ശാഖകളിലുള്ള പ്രയോഗക്ഷമതയുമുണ്ട്.

ചെറുതും വലുതുമായ അളവിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെ മറ്റ് ശാസ്ത്രശാഖകളിൽ ഉപയോഗപ്പെടുത്തുന്നുണ്ട്. സാങ്കേതിക വിദ്യകൾക്കും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സഹായമില്ലാതെ നിലനിൽപ്പില്ല. മാത്രമല്ല ശാസ്ത്രമേഖലയിലെ പല കണ്ടെത്തലുകളും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന്റെ സഹായത്തോടെയാണ് നടന്നിട്ടുള്ളത്. സൗരയൂഥത്തിൽ സൂര്യനിൽ നിന്നും ഏറ്റവും അകലെ കിടക്കുന്ന നെപ്ട്യൂണിന്റെ കണ്ടുപിടുത്തം ഇവയിലൊന്നാണ്. ‘ഇലക്ട്രോ മാഗ്നെറ്റിക് വേവ്സ്’ അഥവാ ‘വിദ്യുത് കാന്ത തരംഗങ്ങളാണ്’ മറ്റൊരു ഉദാഹരണം. വൈദ്യുതകാന്ത പ്രതിഭാസങ്ങളെ കുറിച്ചുള്ള പരീക്ഷണ നിരീക്ഷണ ഫലങ്ങൾ മാക്സ്വെൽ എന്ന ഇംഗ്ലീഷ് ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഗണിതശാസ്ത്ര സമവാക്യങ്ങളാക്കി വിദ്യുത് കാന്ത തരംഗങ്ങൾക്കുള്ള സാധ്യതയുണ്ടെന്നും അവയുടെ വേഗത പ്രകാശവേഗത തന്നെയായിരിക്കണമെന്നും കണ്ടെത്തി. ഇത് പ്രകാശരശ്മികളെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണങ്ങളുടെ (ഒപ്റ്റിക്സ്) ദിശയെ തന്നെ സ്വാധീനിച്ചു എന്ന് മാത്രമല്ല പ്രസ്തുത തരംഗങ്ങൾ കണ്ടെത്താനുള്ള ഗവേഷണങ്ങൾക്കും തുടക്കം കുറിച്ചു. ഹെർട്സ് എന്ന ശാസ്ത്രജ്‌ഞൻ അത് കണ്ടെത്തുകയും ചെയ്തു.

ചുരുക്കിപ്പറഞ്ഞാൽ ഗണിതശാസ്‌ത്രത്തിന്റെ പ്രയോഗക്ഷമത എണ്ണൽ, അളക്കൽ, കണക്കുകൂട്ടൽ തുടങ്ങിയ നേരിട്ടുള്ള ക്രിയകളിൽ മാത്രം ഒതുങ്ങുന്നതല്ല. പ്രകൃതിശാസ്ത്രത്തിലുമുണ്ട് ഗണിതശാസ്‌ത്രത്തിന്റെ പ്രയോഗം. ‘ബയോമാത്തമാറ്റിക്സ്‌‘ എന്ന ശാസ്ത്രശാഖ തന്നെ വികസിപ്പിച്ചിട്ടുണ്ട്. ജൈവവസ്തുക്കളുടെ ഘടനകളെയും മറ്റും ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലൂടെ കൂടുതൽ വിശദവും സൂക്ഷ്മവുമായി ഗ്രഹിക്കാൻ കഴിയും. മന: ശാസ്ത്രത്തിലുമുണ്ട് പ്രയോഗം. മാനസികമായ കഴിവുകളെ എണ്ണിത്തിട്ടപ്പെടുത്തുന്ന പ്രക്രിയയിലേക്ക് മന:ശാസ്ത്രം ശ്രദ്ധതിരിക്കുന്നു. മന:ശാസ്ത്രത്തിലെ ഒരു നൂതന ശാഖയാണ് ‘ടോപ്പോളജിക്കൽ സൈക്കോളജി’ എന്നത്. ഇത് ‘ടോപ്പോളജി’ എന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയിൽ അധിഷ്ഠിതമാണ്. ടോപ്പോളജി അറിയില്ലെങ്കിൽ ഈ നൂതന മന:ശാസ്ത്രത്തെപ്പറ്റി അറിവ് നേടുകയും സാധ്യമല്ല. ശാസ്ത്രത്തിൽ മാത്രമല്ല. സാമൂഹ്യ ശാസ്ത്രത്തിലും കലകളിലും തുടങ്ങി പ്രധാനപ്പെട്ട എല്ലാ വിജ്ഞാനശാഖകളിലും ഗണിതശാസ്ത്രം ചെറുതും വലുതുമായ നിലയിൽ പ്രയോഗിക്കുന്നു.’

കടപ്പാട് :© maryevans.com

‘മാഷേ, ഈ കലകളിൽ കണക്ക് എങ്ങനെയാണ് പ്രയോഗിച്ചിരിക്കുന്നത്?’

‘നമുക്ക് സംഗീതം തന്നെ ഉദാഹരണമായി എടുക്കാം. പൊതുവേ  ശാസ്ത്രത്തിനും കലകൾക്കും തമ്മിൽ എന്താണ് ബന്ധം എന്ന് ഉൽകണ്ഠപ്പെട്ടേക്കാം. നമുക്കെല്ലാം പരിചിതനായ പ്രശസ്ത ശാസ്ത്രജ്ഞൻ സി. വി. രാമൻ സംഗീതത്തെ പ്രണയിച്ചിരുന്നു എന്നു പറഞ്ഞാൽ വിശ്വസിക്കുമോ? കേവലം സംഗീതാസ്വാദനത്തിനുമപ്പുറം എങ്ങനെയാണ് വരികളും ശബ്ദങ്ങളും ശാസ്ത്രത്തിനും കലകൾക്കുമിടയിൽ ഒരു ജുഗൽബന്ദി സൃഷ്ടിക്കുന്നത് എന്നറിയാൻ അദ്ദേഹം ആഗ്രഹിച്ചിരുന്നു. പല വാദ്യോപകരണങ്ങളുടെയും ശബ്ദങ്ങൾക്ക് പുറകിലുള്ള രഹസ്യമറിയാനും അതിനെക്കുറിച്ച് കൂടുതൽ പഠിക്കാനും അദ്ദേഹം ശ്രമിച്ചിരുന്നു. ഈ ശബ്ദങ്ങളെക്കുറിച്ച് പറയുമ്പോൾ തന്നെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിന് സംഗീതത്തിലുള്ള പ്രയോഗത്തെപ്പറ്റി മനസിലാക്കാം. ‘കാമ്പനോളജി’ എന്ന് കേട്ടിട്ടുണ്ടോ?’

‘ഇല്ല മാഷേ.’

‘പതിനേഴാം നൂറ്റാണ്ടിന്റെ തുടക്കത്തിൽ തന്നെ ഇംഗ്ലണ്ടിൽ നിലനിന്ന ഒരു കലയാണ് ‘കാമ്പനോളജി’ അഥവാ ‘ബെൽ റിങ്ങിങ്. പള്ളികളിൽ വലിയ മണികൾ തൂക്കുകയും അവയെ പ്രത്യേക രീതിയിൽ മുഴക്കി ഉണ്ടാക്കുന്ന സംഗീതത്തെ ആസ്വദിക്കുകയും ചെയ്യുന്ന രീതി നിലവിലുണ്ടായിരുന്നു. ഒരു വെറും കലാസ്വാദന ഉപാധിയായി മാത്രം ഒതുങ്ങിയ ഒന്ന് എങ്ങനെയാണ് ഇരുന്നൂറു വർഷങ്ങൾക്കു ശേഷം കണക്കിന്റെ പ്രാധാന്യം തിരിച്ചറിഞ്ഞുകൊണ്ട് ഗണിതശാസ്ത്രലോകത്തിൽ മണിമുഴക്കിയത് എന്നത് തികച്ചും അപ്രതീക്ഷിതമാകാം.
ചിത്രം കടപ്പാട്© www.bio.utexas.edu

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നിങ്ങൾ കേട്ടിട്ടുള്ള ‘ഗ്രൂപ്പ് തിയറി’ എന്ന ശാഖയുടെ വേരുകൾ ഇന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രലോകത്ത് മാത്രമല്ല ഗണിതശാസ്ത്രേതര ലോകത്തും വളരെ വേഗതയിൽ പടർന്നു പന്തലിക്കുകയാണ്. ഗ്രൂപ്പ് തിയറിലൂടെ നമുക്കിനി ബെൽ റിങ്ങിങ്ങിനെ കാണാം. ‘പെർമ്യൂട്ടേഷൻ’ അഥവാ ‘ക്രമമാറ്റം’ എന്ന പ്രക്രിയകൊണ്ട് ആവർത്തനമില്ലാത്ത ഒരു സംഗീതഭാഗം പാലിക്കേണ്ട ചില നിയമങ്ങൾ ഉണ്ട്. അവിടെ മണിമുഴക്കേണ്ടത് മേൽസ്ഥായിയിൽ നിന്നും കീഴ്സ്ഥായിയിലേക്ക് ആയിരിക്കണം. ആ പ്രക്രിയയെ നമുക്ക് ‘റൗണ്ട്സ്’ എന്ന് വിളിക്കാം. ഓരോ പെർമ്യൂട്ടേഷനിലും ഒരു മണി ഒരു പ്രാവശ്യം എന്ന നിലയിൽ വേണം മുഴക്കാൻ. പരമാവധി ഒരു സ്ഥാനമാറ്റം കൊണ്ട് മാത്രമേ ഓരോ മണിക്കും ഒരു നിരയിൽ നിന്നും മറ്റൊന്നിലേക്ക് നീങ്ങാൻ സാധിക്കുകയുള്ളു. അതായത് അടുത്ത പെർമ്യൂട്ടേഷനിൽ ഒരു മണിക്കുള്ള സ്ഥാനം മാറുകയോ നിലനിൽക്കുകയോ ചെയ്യാം. ഒരു റൗണ്ടസ് തീരുന്നതുവരെ അഥവാ സാധ്യമായ എല്ലാ പെർമ്യൂട്ടേഷനുകളും മുഴക്കികഴിയുന്നതുവരെ ഒരു പെർമ്യൂട്ടേഷനും ആവർത്തിക്കാൻ പാടുള്ളതല്ല. ഈ നിയമങ്ങൾ പാലിച്ചു കൊണ്ടാണ് ഗണിതകലാകാരന്മാർ ഒരു  ഷീറ്റ് സംഗീതത്തിന്റെയും സഹായമില്ലാതെ പെർമ്യൂട്ടേഷൻ മനഃപാഠമാക്കി മണികൾ മുഴക്കികൊണ്ടിരുന്നത്. മേൽപ്പറഞ്ഞ നിയമങ്ങൾ അനുസരിച്ചുള്ള പെർമ്യൂട്ടേഷനുകളുടെ ക്രമത്തിനെ ‘എക്സ്റ്റെന്റ്’ എന്ന് പറയാം. ഉയർന്ന പിച്ചുള്ള മണിയെ ‘ട്രെബിൾ’ എന്നും താഴ്ന്ന പിച്ചുള്ള മണിയെ ‘ടെനർ’ എന്നുമാണ് വിളിക്കുന്നത്. എണ്ണത്തിലും വലുപ്പത്തിലും ട്രെബിൾ ചെറുതും ടെനർ വലുതും ആയിരിക്കും. ഒരു പെർമ്യൂട്ടേഷനിലെ രണ്ട്‌ ഘടകങ്ങൾ അഥവാ എലമെന്റ്സ് മാത്രമുള്ള സൈക്കിളിനെയാണ് ‘ട്രാൻസ്‌പൊസിഷൻ’ എന്ന് പറയുന്നത്. ഒരു ട്രെബിളിൽ നിന്ന് തുടങ്ങി തിരിച്ചു തുടങ്ങിയിടത്തു തന്നെ വരുന്ന പെർമ്യൂട്ടേഷനുകളുടെ ക്രമത്തിനെയാണ് ‘ലീഡ്’ എന്ന പദം ഉപയോഗിക്കുന്നത്. ഇനി നമുക്ക് ‘പ്ലെയിൻ ബോബ് മിനിമസ്സിലൂടെ’ സഞ്ചരിക്കാം.

പ്ലെയിൻ ബോബ് മിനിമസ്സിലൂടെ’ സഞ്ചരിക്കാം. 

നാല് മണികൾ കൊണ്ട് മനോഹരമായ സംഗീതത്തെ ആസ്വദിക്കാം. ഇരുപത്തിനാല് വ്യത്യസ്തമായ പെർമ്യൂട്ടേഷനുകൾ കൊണ്ട് ‘S4’ എന്ന ‘സിമെട്രിക് ഗ്രൂപ്പ്’ ഉണ്ടാക്കുമ്പോൾ അതിന്റെ സംഗീതത്തിന്റെ മധുരം ആസ്വദിക്കുക എന്നത് ലളിതമാണ്. പക്ഷേ വിസ്മയകരവുമാണ്. മണികൾക്ക് ഒന്ന് മുതൽ നാലുവരെ നമ്പറുകൾ നൽകാം. അവയുടെ പെർമ്യൂട്ടേഷനുകൾ ഇവയാണ്.

1234(റൗണ്ട്സ്), 2143 ,2413, 4231, 4321, 3412, 3142, 1324, 1342, 3124, 3214, 2341, 2431, 4213, 4123, 1432, 1423, 4132, 4312, 3421, 3241, 2314, 2134, 1243.

ഈ ക്രമത്തിൽ ഒന്നിൽ നിന്ന് മറ്റൊന്നിലേക്ക് വരുമ്പോൾ പ്രധാനമായി നടക്കുന്നത് മൂന്നുതരത്തിലുള്ള ട്രാൻസ്‌പൊസിഷനുകളാണ്.

  1. ആദ്യത്തെ രണ്ട്‌ നമ്പറുകളുടെ പരസ്പര സ്ഥാനമാറ്റവും, അവസാനത്തെ രണ്ട്‌  നമ്പറുകളുടെ പരസ്പര സ്ഥാനമാറ്റവും.
  2. മദ്ധ്യത്തെ രണ്ട്‌ നമ്പറുകളുടെ പരസ്പര സ്ഥാനമാറ്റം.
  3. അവസാനത്തെ രണ്ട്‌ നമ്പറുകളുടെ പരസ്പര സ്ഥാനമാറ്റം.

റൗണ്ട്സ്’– മണിമുഴക്കം കേൾക്കാം

‘ബെൽ റിങ്ങിങ്’ എന്ന കലയെ ഉപയോഗിച്ച് തുടങ്ങി ഇരുന്നൂറു വർഷങ്ങൾക്ക് ശേഷം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർ ഗ്രൂപ്പ് തിയറിയുമായുള്ള  ബന്ധം കണ്ടെത്തിയത്  മേൽപറഞ്ഞ പ്ലെയ്ൻ ബോബ് മിനിമസ്സിനെ ഒരു ‘കേയ്ലി ഡൈഗ്രാഫിന്റെ‘ രൂപത്തിലേക്ക് മാറ്റിയെടുത്താണ്. മേൽ കാണിച്ചിരിക്കുന്ന ക്രമം രൂപപ്പെടുത്തിയതും അങ്ങനെയാണ്. ബോബ് മിനിമസ്സിന്റെ കേയ്ലി ഡൈഗ്രാഫിന്റെ വകഭേദത്തിൽ ഒരു ‘ഹാമിൽട്ടോണിയൻ സൈക്കിൾ‘ കണ്ടെത്തുക എന്നതാണ് പ്രധാനപ്പെട്ട ഗണിതശാസ്ത്ര പ്രക്രിയ.’

നാല് മണികൾ കൊണ്ടുള്ള സംഗീതം –  ഇരുപത്തിനാല് വ്യത്യസ്തമായ പെർമ്യൂട്ടേഷനുകൾ- ‘S4’ കേയ്ലി ഡൈഗ്രാഫ് (Cayley graph CayS(S4).) കടപ്പാട് © math.ch

 

‘അപ്പോൾ മണിമുഴക്കുന്നതിനും ഒരു കണക്കുണ്ടല്ലേ മാഷേ.’

‘അതെ. കേൾക്കാനും ആസ്വദിക്കാനും പ്രപഞ്ചത്തിലുടനീളം കണക്കിന്റെ മണിമുഴക്കങ്ങൾ  ഇനിയും ഒരുപാടുണ്ട്.’

‘കണക്ക് സമൂഹത്തിൽ ഇത്രമാത്രം സ്വാധീനം ചെലുത്തുന്നുണ്ടെന്ന് അറിഞ്ഞിരിന്നില്ലാട്ടോ മാഷേ.’

‘അപ്പോൾ പിന്നെ കൂട്ടുകാരോടും കണക്കിന്റെ മാഹാത്മ്യത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞു കൊടുക്കൂ.’

‘ശരി മാഷേ.’


ലണ്ടനിലെ സെന്റ് പോൾസ് കത്തീഡ്രലിലെ മണിമുഴക്കം കേൾക്കാം


Leave a Reply