മിഷേൽ ടാലാഗ്രാൻഡിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര സംഭാവനകൾ

Read Time:11 Minute

ഡോ.രാഹുൽ കുമാർ ആർ

പോസ്റ്റ്ഡോക് ഫെല്ലോ

ഐ. ഐ. ടി. കാൺപൂർ

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ നടത്തിയ സുപ്രധാന സംഭാവനകൾക്ക് ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ മിഷേൽ ടാലാഗ്രാൻഡിന് (Michel Talagrand) 2024 ലെ ആബെൽ പുരസ്കാരം ലഭിച്ചു. ടാലാഗ്രാൻഡിന്റെ ഗണിതശാസ്ത്ര സംഭാവനകളെക്കുറിച്ച് വായിക്കാം

നമുക്ക് ചുറ്റും നടക്കുന്ന പലകാര്യങ്ങളും ക്രമരഹിതമായി സംഭവിക്കുന്നവയാണ് എന്നുപറഞ്ഞാൽ അതിൽ അതിശയിക്കാനൊന്നുമില്ല. ഓരോ ദിവസവും പെയ്യുന്ന മഴയുടെ അളവിൽ എന്തെങ്കിലും ക്രമം പറയാൻ കഴിയുമോ? തിരുവനന്തപുരത്തുകൂടി ഓരോ ദിവസവും എത്ര വാഹനങ്ങൾ കടന്നുപോകുന്നു എന്നതിലും ഒരു ക്രമം കണ്ടെത്താനാവില്ല. ഇനി സ്റ്റോക്ക് മാർക്കറ്റിലേക്ക് നോക്കൂ, സർവ്വം ക്രമരഹിതം അല്ലേ? നിത്യജീവിതത്തിൽ മാത്രമല്ല കേട്ടോ, ഭൗതികശാസ്ത്രത്തിൽ പ്രപഞ്ച പ്രതിഭാസങ്ങളെ വിശകലനം ചെയ്യുമ്പോഴും സാമ്പത്തിക ശാസ്ത്രത്തിലും കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസിലുമെല്ലാം ഈ ക്രമരാഹിത്യം പ്രത്യക്ഷപ്പെടും. ഗണിതശാസ്ത്രത്തിൽ ഇത്തരം ക്രമരഹിതമായ പ്രവർത്തനങ്ങളെ റാൻഡം പ്രോസസ്സുകൾ (Random processes) എന്നാണു പറയുന്നത്. അനിയന്ത്രിതങ്ങളായ ഘടകങ്ങളെ ആശ്രയിച്ചാണ് ഇവ ഓരോന്നും സംഭവിക്കുന്നത് എന്നതിനാൽ തന്നെ ഈ ക്രമരഹിത പ്രവർത്തനങ്ങളെ കൃത്യതയോടെ പ്രവചിക്കാൻ സാധ്യമല്ല, മറിച്ച് ഇവ സംഭവിക്കാനുള്ള സാധ്യത എത്രത്തോളം എന്നതിനെ കുറിച്ച് പഠിക്കാൻ കഴിയും. ഈ ഗണിത ശാസ്ത്രശാഖയുടെ പേരാണ് സംഭവ്യതാ സിദ്ധാന്തം അഥവാ പ്രോബബിലിറ്റി തിയറി (Probability theory). ഈ മേഖലയിലെ പ്രതിഭാശാലിയായ ഫ്രഞ്ച് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ മിഷേൽ ടാലാഗ്രാൻഡാണ് ഈ വർഷത്തെ ആബേൽ പുരസ്കാരത്തിന് അർഹനായിരിക്കുന്നത്. ദശകങ്ങൾ നീണ്ട ഗവേഷണത്തിലൂടെ റാൻഡം പ്രോസ്സ്സുകളെ മനസ്സിലാക്കുന്നതിൽ ജ്യാമിതീയ ഉൾകാഴ്ച നൽകിയതിനാണ് എഴുപത്തിയൊന്നുകാരനായ ടാലാഗ്രാൻഡിനെ പുരസ്കാരത്തിന് അർഹനാക്കിയത്. ഗണിത ശാസ്ത്ര നോബേൽ എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഈ പുരസ്കാരം വർഷാവർഷം നൽകിവരുന്നത് നോർവീജിയൻ അക്കാദമി ഓഫ് സയൻസ് ആൻഡ് ലെറ്റെഴ്സ് ആണ്. എകദേശം 6 കോടി ഇന്ത്യൻ രൂപയ്ക്ക് തുല്യമാണ് പുരസ്കാരത്തുക.

അടുത്ത പത്തുവർഷത്തിൽ മീനച്ചിലാറിലെ ജലനിരപ്പ് പരമാവധി എത്രവരെയാകാം? ഭൂട്ടാനിലെ ഭൂകമ്പത്തിന്റെ പരമാവധി തീവ്രതയോ? അസുന്തിലിതാവസ്ഥയിലുള്ള ഒരു വാതകത്തിലെ തന്മാത്രകൾ സന്തുലിതാവസ്ഥയിലേക്കെത്താൻ വേണ്ട ചുരുങ്ങിയ സമയം എത്ര ആയിരിക്കും? ഇവയൊക്കെ കൃത്യമായി അറിയാൻ കഴിഞ്ഞാൽ എത്ര ഉപയോഗ പ്രദമായിരിക്കുമല്ലെ? ടാലാഗ്രാൻഡിന്റെ ഗവേഷണം നമ്മെ ഇതിനൊക്കെ സഹായിക്കും. എങ്ങനെയെന്നല്ലേ, പറയാം. അതത് സമയത്തുള്ള റാൻഡം പ്രോസസ്സുകളുടെ സ്വഭാവം ഒരു സമയ പരിധിക്കുശേഷമുള്ള അവയുടെ സ്വഭാവവുമായി എങ്ങനെ ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നുവെന്നത് ഈ മേഖലയിലെ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ പ്രധാന പഠനവിഷയമാണ്.

ഒരു ലളിതമായ ഉദാഹരണം പരിഗണിക്കാം. നിങ്ങൾ ഒരു നാണയം ടോസ്സ് ചെയ്യുന്നു എന്ന് വിചാരിക്കുക. ലഭിക്കാൻ പോകുന്നത് ഹെഡ് ഓർ ടെയിൽ എന്നത് പ്രവചന സാധ്യമല്ലല്ലോ. അതൊരു റാൻഡം പ്രോസസ്സ് തന്നെ. ഇനി അതെ നാണയം 10 തവണ ടോസ്സ് ചെയ്യൂ. നിങ്ങൾക്ക് ഒരു പക്ഷെ 4, 5 ആല്ലെങ്കിൽ 6 ഹെഡ് ലഭിച്ചേക്കാം. ഇത് ശരാശരി ആയ 5 നോട് വളരെ അടുത്ത സംഖ്യ തന്നെയല്ലേ. നിങ്ങൾക്ക് മാത്രമല്ല, ഈ പരീക്ഷണം നടത്തുന്ന 66% ആളുകൾക്കും ഇതേ ഫലം തന്നെയാവും കിട്ടുക. ഇനി അതേ നാണയം 1000 തവണ ടോസ്സ് ചെയ്താലോ. നിങ്ങൾക്ക് ലഭിക്കുക 450 നും 550 നുമിടയിൽ ഹെഡ് ആയിരിക്കും. ശരാശരിയായ 500 നോട് അടുത്ത് തന്നെ. ഇത്തവണ 99% ആളുകൾക്കും ഇതേ ഫലം ആയിരിക്കും ലഭിക്കുക. ഇത്തരത്തിൽ വലിയ ഒരു ഭാഗം ഡാറ്റയും ശരാശരിയോട് അടുത്തിരിക്കുകയും ബാക്കിയുള്ളവ ക്രമേണ കുറഞ്ഞുവരികയും ചെയ്യുന്ന തരം റാൻഡം പ്രോസസ്സുകളെ ഗൗസിയൻ പ്രോസസ്സുകൾ (Gaussian process) എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്. ചിത്രരൂപത്തിൽ അടയാളപ്പെടുത്താൻ ശ്രമിച്ചാൽ ഒരു മണിയുടെ രൂപമായിരിക്കും ഇവയ്ക് കൈവരിക.

നിത്യജീവിതത്തിലും ശാസ്ത്രത്തിലും നമ്മൾക്ക് വിശകലനം ചെയ്യേണ്ടി വരുന്ന ഒട്ടുമിക്ക റാൻഡം പ്രോസസ്സുകളും ഈ ഗണത്തിൽ പെടുന്നവയാണ്. ടാലാഗ്രാൻഡ് ഇത്തരം പ്രോസസ്സുകളുടെ വിശദമായ പഠനത്തിലൂടെ അവയുടെ മാക്‌സിമം – മിനിമം നിർണ്ണയിക്കാനുതകുന്ന തരത്തിലുള്ള ജ്യാമിതീയ ഘടനയ്ക്ക് രൂപം നൽകി. ഈ ഗണിത തത്വത്തെ അദ്ദേഹം ജനറിക് ചെയിനിങ് മെത്തേഡ് (Generic chaining method) എന്നാണു വിളിക്കുന്നത്. ലളിതമായി പറഞ്ഞാൽ, നദിയിലെ പരമാവധി ജലനിരപ്പ് കൃത്യമായി കണ്ടെത്താനും നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച തരം ചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്താനുമെല്ലാം ടാലഗ്രാൻ്റിൻ്റെ ഈ തത്വം നമ്മെ സഹായിക്കും.

എല്ലാ ക്രമരഹിത പ്രവർത്തനങ്ങളും നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച ഗൗസിയൻ ഗണത്തിൽ പെടുന്നവയല്ല. കൂടുതൽ സങ്കീർണ്ണമായ ക്രമരഹിത പ്രവർത്തനങ്ങളിലും ഗൗസ്സിയന് സമാനമായ പ്രതിഭാസം നടക്കുന്നു എന്നും ടാലാഗ്രാൻഡ് തൻ്റെ ഗവേഷണത്തിലൂടെ തെളിയിച്ചു. ‘അതായത് ഒരു സിസ്റ്റത്തിന് തുടക്കത്തിൽ ഒരുപാട് ക്രമരാഹിത്യം ഉണ്ടെന്ന് തോന്നാമെങ്കിലും അവ ക്രമേണ പരസ്പരം റദ്ദ് ചെയ്യപ്പെടുകയും അതിനു ഒരു ക്രമം കൈവരികയും ചെയ്യുന്നു എന്ന് ചുരുക്കം.’ ഈ തത്വത്തെ അദ്ദേഹം കോൺസൺട്രേഷൻ ഓഫ് മെഷർ (Concentration of measure) എന്ന് വിളിച്ചു. അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഈ കണ്ടെത്തലുകൾ കമ്പ്യൂട്ടർ സയൻസ്, ഇക്കണോമിക്, സ്റ്റാറ്റിസ്റ്റിക്സ്, കൊമ്പിനട്ടോറിക്സ്, ഒപ്ടിമൈസേഷൻ തുടങ്ങി പല മേഖലകളിലും ദിനംപ്രതിയെന്നോണം ഉപയോഗിക്കപ്പെടുന്നവയാണ്.

ഭൗതിക ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് ഏറെ പരിചയമുള്ളതും എന്നാൽ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് കീറാമുട്ടിയുമായിരുന്ന സ്പിൻ ഗ്ലാസ്സ് (Spin glass) എന്ന പദാർത്ഥത്തിൻ്റെ ഘടനയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ചോദ്യത്തിന് ടാലാഗ്രാൻഡ് ഗണിതശാസ്ത്ര അടിത്തറ നൽകിയത് വളരെ അടുത്ത കാലത്താണ്. ക്രമരഹിതമായ കാന്തിക മണ്ഡലങ്ങളുള്ള പദാർത്ഥങ്ങളാണ് സ്പിൻ ഗ്ലാസ്സ്. അവയുടെ ഘടന ഭൗതിക ശാസ്ത്രപരമായി വ്യാഖ്യാനിച്ചതിനാണ് ജോർജിയോ പരീസിയ്ക്ക് 2021-ൽ നൊബേൽ പുരസ്കാരം ലഭിച്ചത്. സ്പിൻ ഗ്ലാസ്സുകളെ ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി നിർവ്വചിച്ചിട്ടുണ്ടെങ്കിലും അവയുടെ ഘടനയെ വിശദീകരിക്കാൻ ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാർക്ക് കഴിഞ്ഞിരുന്നില്ല. നീണ്ട വർഷത്തെ ഗവേഷണത്തിലൂടെ വികസിപ്പിച്ചെടുത്ത തത്വങ്ങളിലൂടെ ഈ ചോദ്യത്തിന് പൂർണ്ണമായ ഉത്തരം നൽകാൻ കഴിഞ്ഞുവെന്നതും ടാലാഗ്രാൻഡിൻ്റെ നേട്ടങ്ങളിൽ എടുത്തുപറയാവുന്നയാണ്.

നിരവധി ശാസ്ത്ര മണ്ഡലങ്ങളിൽ ഉപയോഗപ്പെടുത്താവുന്നതരം ഗണിതത്തിന് രൂപം നൽകിയെന്നതിലുപരി അദ്ദേഹത്തിന്റെ കണ്ടെത്തലുകൾ സ്വതന്ത്രവും മനോഹരവുമായ ഗണിതശാസ്ത്ര തത്വങ്ങളായും തുടരുന്നുവെന്നും പുരസ്കാര കമ്മിറ്റി അഭിപ്രായപ്പെട്ടു.