രൂപകങ്ങളും ഗണിതശാസ്ത്രവും - യുക്തി മാത്രമാണോ ഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം.?

Read Time:11 Minute

രാഹുൽ കുമാർ ആർ.

Research Scholar

Department of Mathematics IIT Madras

പുസ്തക പരിചയം

യുക്തി മാത്രമാണോ ഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം.?

പ്രശസ്ത ഭാഷാ ശാസ്ത്രജ്ഞൻമാരായ ജോർജ് ലക്കോഫും റാഫേൽ നൂനസും എഴുതിയ ‘Where Mathematics comes from’ എന്ന പുസ്തകത്തെക്കുറിച്ച് വായിക്കാം.

ശാസ്ത്രത്തിന്റെ രാജ്ഞി എന്നാണ് ഗണിതശാസ്ത്രം അറിയപ്പെടുന്നത്. മനുഷ്യന്റെ ചിന്തകളെ ഗണിതശാസ്ത്രത്തോളം സ്വാധീനിച്ച മറ്റൊരു വിഷയം ഇല്ല എന്നു തന്നെ പറയാം. എന്നാൽ മനുഷ്യന് അറിയാവുന്ന ഗണിതം രൂപകല്പന ചെയ്യപ്പെട്ടതോ അതോ സ്വമേധയാ നിലനിൽക്കുന്നതോ എന്ന ചോദ്യം തർക്കവിഷയം ആണ്. ഈ ചോദ്യത്തിന് കോഗ്നിറ്റിവ് സയൻസിന്റെ സഹായത്തോടെ ഉത്തരം നൽകാൻ ശ്രമിക്കുകയാണ് പ്രശസ്ത ഭാഷാ ശാസ്ത്രജ്ഞൻമാരായ ജോർജ് ലക്കോഫും റാഫേൽ നൂനസും തങ്ങളുടെ ‘Where Mathematics comes from’ എന്ന പുസ്തകത്തിലൂടെ.

പൊതുവിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തെപ്പറ്റി പറഞ്ഞുപോരുന്ന ചില സംഗതികൾ ഇവയൊക്കെയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രം എന്നത് തികച്ചും അമൂർത്തമായിട്ടുള്ള യാഥാർത്ഥ്യം ആണ്.
ഗണിതശാസ്ത്രം നമ്മുടെ പ്രപഞ്ചത്തിന് ഒരു അമൂർത്ത ഘടന നല്കുന്നു. ആയതിനാൽ അത് മനുഷ്യ രാശിയുമായി നേരിട്ട് ബന്ധമില്ലാത്ത ഒന്നാണ്.
ഗണിതശാസ്ത്രപരമായ കണ്ടെത്തലുകൾ പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ നേരറിവുകളിലേക്ക് വഴികാട്ടുന്നു.
പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഭാഷയായ ഗണിതം അതി സമർത്ഥരായ മനുഷ്യർ സ്വാംശീകരിച്ച് മനുഷ്യ രാശിക്ക് പ്രദാനം ചെയ്യുന്ന ഒന്നാണ്.
ഭൗതിക പ്രപഞ്ചത്തിന്റെ ഭാഗമാണ് ഗണിതം. പൂക്കളിലെ ഫിബിനോച്ചി സീരീസ് ഒക്കെ ഉദാഹരണം.

മേൽപറഞ്ഞവയൊക്കെ ശാസ്ത്രീയ അടിസ്ഥാനം ഉള്ളവയാണോ, അതോ വെറും കാല്പനിക സൃഷ്ടികൾ മാത്രമോ? ‘Where Mathematics comes from’ എന്ന പുസ്തകം ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകുന്നത് ഇങ്ങനെ ആണ്. മേൽപറഞ്ഞവയ്ക്ക് ഒന്നും ശാസ്ത്രീയ അടിസ്ഥാനം ഇല്ല. മനുഷ്യന് അറിയാവുന്ന ഗണിത ശാസ്ത്രം എന്ന ചിന്താപദ്ധതി മനുഷ്യ രാശിയുമായി നേരിട്ട് ബന്ധമില്ലാത്ത പൂർണ്ണമായ ഒന്നല്ല, മറിച്ച് മനുഷ്യാനുഭവങ്ങളിൽ നിന്ന് ഉരുത്തിരിഞ്ഞ് വന്നവയാണ്.

ഇനി പറയാൻ പോകുന്നത് ഭാഷാ അലങ്കാരങ്ങളെ കുറിച്ചാണ്. “മന്നവേന്ദ്രാ വിളങ്ങുന്നു ചന്ദ്രനെപ്പോലെ നിൻ മുഖം” എന്ന വരികൾ കേൾക്കാത്തവരായി ആരും തന്നെ ഉണ്ടാവില്ല. ഇവിടെ ഉപയോഗിച്ചിരിക്കുന്ന ഭാഷാ അലങ്കാരം ഉപമ ആണ്. മുഖത്തെ ചന്ദ്രനുമായി ഉപമിച്ചിരിക്കുന്നത് കാണാം. ഇനി രൂപകങ്ങൾ അഥവാ മെറ്റഫെഴ്സ് എന്താണെന്ന് പറയാം. രൂപകങ്ങൾ എന്ന ഭാഷാ അലങ്കാരത്തിൽ ഒന്നിനെ മറ്റൊന്നോട് സാദൃശ്യപ്പെടുത്തുകയല്ല, മറിച്ച് ഒന്നിന് മറ്റൊന്നിന്റെ അർത്ഥം പ്രതീകാത്മകമായി കല്പിച്ച് നൽകുകയാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് “മാനസ നിളയിൽ പൊന്നോളങ്ങൾ” എന്ന വരിയിൽ മാനസത്തെ നിളയെപ്പോലെ എന്ന് ഉപമിച്ചിരിക്കുകയല്ല, മറിച്ച് മാനസ്സത്തിന് നിള എന്ന അർത്ഥം കല്പിച്ച് നൽകിയിരിക്കുകയാണ്.

ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലും ഉണ്ട് ഇത്പോലെ ഒരുപാട് രൂപകങ്ങൾ. സംഖ്യാരേഖയിൽ ബിന്ദുക്കൾക്ക് പ്രതീകാത്മകമായി സംഖ്യകൾ എന്ന അർത്ഥം കൊടുക്കുന്നത് ഇതിന് ഒരു ഉദാഹരണമാണ്. ട്രിഗിനോമെട്രിയിലാകട്ടെ കോണുകൾ ആണ് സംഖ്യകൾ ആയി മാറുന്നത്. കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യാ പ്രതലത്തിൽ ഗുണനം എന്നത് റൊട്ടെഷൻ (rotation) എന്നതിന്റെ പ്രതീകാത്മക രൂപം ആണ്.

ഇത്തരത്തിൽ ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ അടിസ്ഥാന ആശയങ്ങൾ ഒക്കെത്തന്നെയും രൂപകങ്ങളാൽ നിർമിക്കപ്പെട്ടവയാണ്. കൂടാതെ കൂടുതൽ അമൂർത്തങ്ങളായ ഗണിത ആശയങ്ങൾ ആകട്ടെ രൂപകങ്ങളുടെ വിദഗ്ധമായ കൂട്ടിച്ചേർക്കൽ കൊണ്ട് രൂപപ്പെടുത്തിയവയാണ് എന്നും മേൽപറഞ്ഞ പുസ്തകം വിശദമാക്കുന്നു. ഇത്തരം രൂപകങ്ങളെ Grounding metaphors എന്നും Linking metaphors എന്നും രണ്ടായി തിരിച്ചിരിക്കുന്നു. പേര് സൂചിപ്പിക്കുന്ന പോലെ തന്നെ grounding metaphors ഏറ്റവും ലളിതമായ ഗണിത ആശയങ്ങൾ പ്രദാനം ചെയ്യുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് കൂട്ടൽ (addition) എന്ന ഗണിത പ്രക്രിയ ഒരു കൂട്ടം സാധനങ്ങളിലേക്ക് കൂടുതൽ സാധനങ്ങൾ കൂട്ടിചേർക്കുന്ന പ്രക്രിയ തന്നെ ആണല്ലോ. രണ്ടാമത് പറഞ്ഞ linking metaphors അമൂർത്തമായ ഗണിത ആശയങ്ങൾ പ്രദാനം ചെയ്യുന്നവയാണ്. നേരത്തെ സൂചിപ്പിച്ച സംഖ്യാരേഖയിലെ ബിന്ദുക്കളും കോംപ്ലക്സ് സംഖ്യാ പ്രതലത്തിലെ ഗുണനവും ഒക്കെ ഇതിന് ഉദാഹരണം.

ഓയിലർ സമവാക്യം

ഇനി ‘ഓയിലർ സമവാക്യത്തിലേക്ക് (Euler’s equation)’ വരാം. e^iπ + 1= 0 എന്ന ഈ പ്രശസ്ത സമവാക്യത്തിൽ ഗണിതത്തിലെ പേരുകേട്ട സംഖ്യകൾ ആയ e, π, i, 0,1 എന്നിവ എല്ലാം തന്നെ പരസ്പരം ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നു. വിചിത്രങ്ങൾ ആയ ഈ സംഖ്യകൾ എങ്ങനെയാണ് മനുഷ്യൻ പരസ്പരം കൂട്ടി ഇണക്കിയെടുക്കുന്നത് എന്നത് ആശ്ചര്യം തന്നെയാണ്. എങ്ങനെ ആണ് e, π, i തുടങ്ങിയ സംഖ്യകൾ മനുഷ്യനിലേക്ക് എത്തുന്നത്. ഏതു തരം രൂപകങ്ങളുടെ കൂടിച്ചേരലുകൾ ആണ് ഈ സംഖ്യകൾക്ക് മാനം ഉണ്ടാക്കി കൊടുക്കുന്നത്. 2³ എന്നത് 2*2*2 എന്ന് അറിയുന്നത് പോലെ എങ്ങനെയാണ് e^iπ എന്നതിന് രൂപകങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ മനുഷ്യൻ മാനം ഉണ്ടാക്കിയെടുക്കുന്നതെന്നും അപ്രകാരം e^iπ + 1= 0 എന്നതിലേക്ക് എത്തിച്ചേരുന്നതെന്നും ‘Where Mathematics comes from’ വിശദമാക്കുന്നു.

ഓയിലേഴ്സ് സമവാക്യം എങ്ങനെയാണ് രൂപകങ്ങളിലൂടെ ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരുന്നതെന്ന് വിശദമായി പരിശോധിക്കുന്നതോടൊപ്പം ഗണിതത്തിലെ മറ്റ് ആശയങ്ങളും ഇപ്രകാരം രൂപകങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെ സ്വാഭാവികമായി മനസ്സിലാക്കാൻ കഴിയുന്നവയാണെന്ന് കൂടി ഈ പുസ്തകം വ്യക്തമാക്കുന്നുണ്ട്. യുക്തി മാത്രമാണോ ഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം.? വളരെ ലളിതമായ 0.999999….=1 ആണോ എന്ന ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരം നൽകാൻ ശ്രമിച്ചാൽ ചില ഇടങ്ങളിൽ അതെ എന്നും മറ്റു ചില ഇടങ്ങളിൽ അല്ല എന്നും ഗണിത ശാസ്ത്രം മറുപടി നൽകും. എന്തെന്നാൽ സംഖ്യാരേഖ മാത്രം പരിചയപ്പെടുമ്പോൾ 0.999999….=1 ആവുന്നതും കുറച്ച് കൂടി കടന്നു ഹൈപ്പർ രേഖാ സംഖ്യകളെ കുറിച്ച് അറിയുമ്പോൾ 0.999999….എന്നത് 1 നോട് സമമല്ലാതാവുന്നതും കാണാം. രണ്ടിടങ്ങളിലും ഉപയോഗപ്പെടുത്തിയിരിക്കുന്ന രൂപകങ്ങൾ തന്നെ ആണ് ഈ മാറ്റത്തിന് കാരണം.

ഇത്തരത്തിൽ ഗണിതത്തിന്റെ അടിസ്ഥാനം സൂഷ്മമായ യുക്തിയല്ല, മറിച്ച് രൂപകങ്ങൾ ആണെന്ന് പറഞ്ഞു വെയ്ക്കുന്ന ഈ പുസ്തകം ഒരു പുതിയ ഗണിത ശാസ്ത്ര പഠന പദ്ധതിക്ക് കൂടെ ആണ് തുടക്കമിടുന്നത്.

ഗണിത പഠനം ആസ്വാദ്യവും ആയാസ രഹിതവും ആക്കാൻ ഇത്തരം പഠന രീതിയിലൂടെ കഴിയും എന്നത് തീർച്ച. ഒരു മനോഹരമായ പാട്ട് കേൾക്കുന്നത് പോലെ ഗണിത സമവാക്യങ്ങൾ മനസ്സിലാക്കി എടുക്കുന്നതിനെ കുറിച്ച് ഒന്ന് ആലോചിച്ച് നോക്കൂ, മനോഹരം അല്ലേ.! ഭാവിയിൽ ഇത്തരം ഒരു പുതിയ പഠന പദ്ധതി നടപ്പാക്കാൻ കഴിഞ്ഞാൽ അത് വരും തലമുറയ്ക്ക് മുതൽക്കൂട്ടാണ് എന്നതിൽ സംശയം ഇല്ല.