Read Time:21 Minute

മേധ രേഖ

ലൂക്ക എഡിറ്റോറിയൽ ബോർഡ് അംഗം

എം.എസ്.സി.ഫിസിക്സ് , സി.എം.എസ്.കോളേജ്, കോട്ടയം

അറിഞ്ഞോ…വല്ലതും അറിഞ്ഞാരുന്നോ…!?

ഇവിടെ ഒരു കൊടിയ അനീതി നടന്നു വരുന്നത് നിങ്ങൾ അറിഞ്ഞാരുന്നോ? ഞാൻ ഈയിടെയാണ് അറിഞ്ഞത്. അതായത്, ഒരു 10-18 വയസ്സ് കഴിഞ്ഞ ആളുകളെ പാർക്കിൽ കളിക്കാൻ സമ്മതിക്കില്ലത്രേ!

നമുക്ക് പിന്നെ ഊഞ്ഞാലാടണ്ടേ, സ്ലൈഡ് -ൽ തെന്നി ഇറങ്ങേണ്ട? എന്തൊരു രസമാണ്, ശുർർ-ന്നു ഇങ്ങനെ തെന്നി ഇറങ്ങാൻ. എന്നാൽ നീണ്ടതും, വളഞ്ഞതും, തിരിഞ്ഞതും ആയ പലതരം സ്ലൈഡുകളിൽ, ഏതിലാണ് ഏറ്റവും പെട്ടെന്ന് താഴെ എത്തുക എന്ന് ആലോചിച്ചിട്ടുണ്ടോ?

ഇല്ലെങ്കിൽ ആലോചിക്കണം. കാരണം കുറെ ശാസ്ത്രജ്ഞർ ആലോചിച്ചു ഉറക്കം കളഞ്ഞ രസകരമായ ഒരു ചോദ്യമായിരുന്നു അത്. ഈ സ്ലൈഡ് ന്റെ മുകൾവശത്തെ A എന്നും, താഴെ നമ്മൾ ചെന്ന് വീഴുന്ന സ്ഥലത്തിനെ B എന്നും വിളിച്ചാൽ, ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൽ മാത്രം – ശ്രദ്ധിക്കുക. നമ്മൾ ആയിട്ട് ഒന്നും ചെയ്യാതെ ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൽ മാത്രം നീങ്ങുന്ന ഒരു വസ്തുവിന് എത്രയും പെട്ടെന്ന് താഴേക്ക് എത്താൻ, ഏത് ആകൃതിയിലുള്ള ‘സ്ലൈഡ്’ ഉപയോഗിക്കണം?

പെട്ടെന്ന് ആലോചിക്കുമ്പോ ആ രണ്ടു ബിന്ദുവിനെയും യോജിപ്പിക്കുന്ന ഒരു നേർരേഖ (straight line) അല്ലേ ഉത്തരം എന്ന് തോന്നിയേക്കാം. എന്നാൽ അങ്ങനെ അല്ല. ഏറ്റവും കുറവ് ദൂരം നേർരേഖയിൽ പോകുമ്പോൾ തന്നെയാ. പക്ഷെ ഗുരുത്വാകർഷണത്തിന്റെ ബലത്തിൽ മാത്രമാണ് നമ്മൾ പോകേണ്ടത് എന്ന് ഓർക്കുക. അപ്പോൾ, ആദ്യം ഉണ്ടാകുന്ന ആ ഒരു ആയം കൂട്ടുന്ന തരം വക്രരേഖ (curve) ആയിരിക്കും വേഗത്തിൽ എത്തിക്കുക.

ഏതാവും ആ വക്രരേഖ?

ഈ പ്രശ്നം ആദ്യം ചർച്ച ചെയ്യുന്നത് ഗലീലിയോ ഗലീലി (Galileo Galilei) ആണ്. അതും 1638 ൽ.

അദ്ദേഹം പരിഹരിക്കാൻ തുടങ്ങിയത് വേറൊരു പ്രശ്നത്തെയായിരുന്നു. A എന്ന ബിന്ദുവിനെ എതിരെയുള്ള ഒരു ഭിത്തിയുമായി ഒരു നേർരേഖ കൊണ്ട് ബന്ധിപ്പിക്കുകയാണെങ്കിൽ, ഏതു രേഖയിലൂടെയാവും ഗുരുത്വാകർഷണം മാത്രം കൊണ്ട് ഏറ്റവും കുറഞ്ഞ സമയം കൊണ്ട് അവിടെ എത്താൻ ആവുക?

ഭിത്തിയുമായി ചേരുമ്പോൾ 45 ഡിഗ്രി കോൺ ഉണ്ടാക്കുന്ന നേർരേഖയാവും അതെന്ന്‌ അദ്ദേഹം കൃത്യമായി കണ്ടെത്തി.

പക്ഷെ നമ്മുടെ പ്രശനം അതിലും പാടാണല്ലോ. ഏത് കോണിലെ നേർരേഖ എന്നല്ല, എന്ത് ആകൃതി എന്നാണല്ലോ. അത് കണ്ടു പിടിക്കുന്നതിൽ അദ്ദേഹം ശകലം പിഴച്ചു പോയി. A യെയും B യെയും ഉൾപ്പെടുത്തുന്ന വൃത്തത്തിന്റെ കഷണത്തിന്റെ ആകൃതി (Arc of the circle connecting A and B) ആകുമെന്നായിരുന്നു അദ്ദേഹം പറഞ്ഞത്. ഇത് തെറ്റായിരിക്കാമെന്നും, കുറച്ചു കൂടി ഉയർന്ന തലത്തിലുള്ള ശാസ്ത്രം വേണ്ടി വന്നേക്കും ഇതിനെന്നും അദ്ദേഹം പറഞ്ഞു.

-60 ഓളം വർഷങ്ങൾക്കിപ്പുറം, ജോഹൻ ബെർണോളി (Johann Bernoulli) എന്ന പ്രസിദ്ധനായ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ഈ പ്രശ്നത്തെ ലോകത്തിനു മുന്നിൽ അവതരിപ്പിച്ചു. ആര് കേട്ടാലും, വിറയ്ക്കുന്ന ഒരു പേരുമിട്ടു – ‘ചുരുങ്ങിയത് ‘ എന്നതിന്റെയും ‘സമയം’ എന്നതിന്റെയും ഗ്രീക്ക് വാക്കുകൾ ചേർത്ത് ഒരു വൻ പേര് : brachistochrone Problem!

1696 ജൂണിൽ ഇറങ്ങിയ Acta Eruditorium എന്ന പ്രസിദ്ധീകരണത്തിൽ അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ പ്രസ്താവിച്ചു –

“ഞാൻ, ജോഹൻ ബർണോളി, ഈ ലോകത്തെ ഏറ്റവും മികച്ച ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞരെ അഭിസംബോധന ചെയ്യുകയാണ്. ബുദ്ധിമാന്മാരായ മനുഷ്യർക്ക് നല്ല വെല്ലുവിളി നൽകുന്ന, അവരെ പ്രശസ്തിയുടെയും അംഗീകാരത്തിന്റെയും കൊടുമുടിയിൽ എത്തിക്കാൻ കഴിയുന്ന പ്രശ്നങ്ങളേക്കാൾ ആകർഷകമായി യാതൊന്നുമില്ല. പാസ്കൽ, ഫെർമ (Fermat) തുടങ്ങിയവർക്കു സാധിച്ച പോലെ മുഴുവൻ ശാസ്ത്രലോകത്തിന്റെയും പിന്തുണ നേടാൻ എനിക്ക് ഇതിലൂടെ കഴിയുമെന്ന് ഞാൻ പ്രതീക്ഷിക്കുകയാണ് -നമ്മുടെ കാലത്തിലെ അതികായരായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞർക്ക് മുന്നിൽ ഈ പ്രശ്നം അവതരിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്. ഇതിന് ശരിയായ ഉത്തരം ആരെങ്കിലും എന്നോട് പറഞ്ഞാൽ അവർ കേമന്മാർ എന്ന് ഞാൻ പരസ്യമായി പ്രഖ്യാപിക്കും!”

ഇത്രയും പറഞ്ഞുകൊണ്ട് `Brachistochrone problem’ എന്ന മഹാപ്രശ്നത്തെ ബർണോളി ശാസ്ത്ര ലോകത്തേക്കങ്ങ് ഇട്ടുകൊടുത്തു. അതിന് ഉത്തരം കണ്ടെത്താനായി ആറുമാസം സമയവും പ്രഖ്യാപിച്ചു. എന്നാൽ ആ സമയത്തിനകം ലോകത്ത് ആർക്കും അത് ചെയ്യാൻ കഴിഞ്ഞില്ല. ലൈബ്നിത് സ് (Gottfried Leibniz) എന്ന ജർമൻ ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ബർണോളിക്ക് ഒരു കത്തിൽ തന്റെ അഭിനന്ദനങ്ങള്‍ അറിയിച്ചുകൊണ്ട് പറഞ്ഞു; “ഹവ്വ ആപ്പിളിനാൽ മയങ്ങിയത് പോലെ തന്നെ ഞാനീ പ്രശ്നത്തിന്റെ മനോഹാരിതയിൽ മയങ്ങി വീണിരിക്കുകയാണ്” എന്ന്. ഉത്തരം കണ്ടെത്താൻ ഇതിനോടൊപ്പം കൂടുതൽ സമയവും അഭ്യർത്ഥിച്ചു. അങ്ങനെ ബർണോളി ആറുമാസം എന്ന സമയം നീട്ടി ഒന്നരവർഷം ആക്കി.

ഒടുവിൽ, 5 പേരുടെ ഉത്തരങ്ങൾ പ്രസിദ്ധീകരിക്കപ്പെട്ടു. 1697 മേയ് മാസത്തെ Acta Eruditorium-ൽ ലൈബ്നിത് സ്, ജോഹൻ ബർണോളിi, അദ്ദേഹത്തിന്റെ ചേട്ടൻ ജേക്കബ്ബ് ബർനോളി തുടങ്ങിയവരുടെ ഒപ്പം, സാക്ഷാൽ ഐസക് ന്യൂട്ടന്റേതും ഉണ്ടായിരുന്നു.

1697 ജനുവരിയിൽ ആണത്രേ ഐസക് ന്യൂട്ടൺ, ജോഹൻ ബർണോളി അയച്ച ഒരു കത്തിൽ ഈ പ്രശ്നം കാണുന്നത് . ന്യൂട്ടൺ ആണെങ്കിൽ ആ സമയം ഇംഗ്ലണ്ടിലെ Fake currencyനിർത്തിക്കാനുള്ള ദൗത്യത്തിന്റെ ഓട്ടത്തിനിടയിലും. വൈകുന്നേരം നാലുമണിക്കാണത്രെ പ്രശ്നം കണ്ടത് തന്നെ. പക്ഷേ ന്യൂട്ടൺ അല്ലേ ആള്! അന്ന് ഒരൊറ്റ രാത്രികൊണ്ട് പ്രശ്നവും solve ചെയ്ത് രാവിലെ തന്നെ തന്റെ നിർധാരണം (solution) സ്വന്തം പേരു ചേർക്കാതെ പ്രസിദ്ധീകരണത്തിന് അയച്ചു. ജനുവരിയിലെ Philosophical transactions എന്ന ജേർണലിൽ ന്യൂട്ടന്റെ സൊല്യൂഷൻ എന്ന് പറയാതെ, പേര് വയ്ക്കാതെ അത് പ്രസിദ്ധീകരിക്കപ്പെട്ടു. എന്നാൽ അതു വായിച്ച് ജോഹൻ ബർണോളി പറഞ്ഞു -” ആ സിംഹത്തെ അതിൻറെ നഖപ്പാടുകൾ കൊണ്ട് എനിക്കു മനസ്സിലായി” . ബർണോളി രണ്ട് ആഴ്ചയോ മറ്റോ എടുത്ത് ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയ പ്രശ്നമാണ് ന്യൂട്ടൺ അര ദിവസത്തിൽ തീർത്തത്. പിന്നല്ല….ന്യൂട്ടൺ ഡാ!

ന്യൂട്ടന്റെ കൈപ്പടയിൽ എഴുതിയ അന്നത്തെ ആ സൊല്യൂഷൻ ആണ് ഈ കാണുന്നത്. ആ curve എവിടെ എങ്കിലും കണ്ടു പരിചയം തോന്നുന്നുണ്ടോ? എന്തായാലും ഒന്ന് നോക്കി വെച്ചോളൂ.

Bernoulli യുടെ solution മോശമൊന്നുമല്ലായിരുന്നു കേട്ടോ. മനോഹരമായ ഒരു ചിന്താരീതിയിലൂടെയാണ് അദ്ദേഹം ഉത്തരം കണ്ടെത്തിയത്. ഒരു വസ്തു ചലിക്കുന്നതിന് പകരം അദ്ദേഹം അവിടെ പ്രകാശത്തിന്റെ സഞ്ചാരത്തെ സങ്കൽപ്പിച്ചു. പ്രകാശത്തിന്റെ പ്രത്യേകത എന്തെന്നാൽ ഏതൊരു മീഡിയത്തിലും- വായുവോ വെള്ളമോ അങ്ങനെ എന്താണെങ്കിലും ഏറ്റവും ചുരുങ്ങിയ സമയം എടുക്കുന്ന പാതയിലേ പ്രകാശം സഞ്ചരിക്കൂ. ഇതിനെയാണ് ഫെർമയുടെ തത്ത്വം (Fermat’s principle of least time) എന്നു പറയുന്നത്.

ഒരു മാദ്ധ്യമത്തിൽ പ്രകാശത്തിന്റെ പാത നിശ്ചയിക്കുന്ന സ്നെൽ നിയമത്തിൽ (Snell’s law) പ്രകാശത്തിന്റെ വേഗതയ്ക്കു പകരം, ഗുരുത്വാകർഷണത്തിൽ മാത്രം നീങ്ങുന്ന ഒരു വസ്തുവിന്റെ വേഗത കണ്ട്, അത്ഭുതകരമായി ബർണോളിi സൊല്യൂഷനിലേക്ക് എത്തി

അദ്ദേഹത്തിൻറെ ചേട്ടൻ ജേക്കബ്ബ് ആകട്ടെ കുറച്ചുകൂടി പൊതുവായ വഴി കണ്ടുപിടിക്കാൻ ശ്രമിച്ചു. കാൽക്കുലസ് എന്ന വിദ്യ നേരിട്ട് ഉപയോഗിച്ചില്ലെങ്കിലും, അദ്ദേഹം ഉപയോഗിച്ച രീതി പിന്നീട് മറ്റൊരു വിദ്യയുടെ വികസനത്തിന് കാരണമായി. സ്കൂളിൽ ഒക്കെ കാൽക്കുലസ് (calculus) പഠിച്ചു മടുത്തിരുന്നവരാണെങ്കിൽ എവിടെങ്കിലും ഒന്ന് മുറുകെ പിടിച്ചോ…ഇതാ വരുന്നു അതിൻറെ ചട്ടമ്പിയായ അനിയൻ, Calculus of variations!

കേൾക്കുമ്പോൾ ഭീകരൻ ആണെങ്കിലും, നല്ല രസകരമായ രീതിയാണ് കേട്ടോ calculus of variations ന്റേത്.

സാധാരണ Calculus എന്ന് പറയുമ്പോൾ, functions കൊണ്ടുള്ള കളിയാണ്. ഒരു കാര്യം മാറുന്നതിന് എന്തോ ഒന്നിന് അനുപാതികമായി മറ്റൊന്ന് മാറുമ്പോഴാണ് ഒന്ന് മറ്റേതിന്റെ ഫങ്‌ഷൻ ആണെന്ന് പറയുന്നത്.

ഉദാഹരണത്തിന്, വെള്ളം തിളക്കാൻ എടുക്കുന്ന സമയം നമ്മൾ കൊടുക്കുന്ന ചൂടിന്റെ ഫങ്‌ഷൻ ആണെന്ന് പറയാം. അല്ലെങ്കിൽ, തുണി ഉണങ്ങാൻ എടുക്കുന്ന സമയം അടിക്കുന്ന വെയിലിന്റെ ഫങ്‌ഷൻ ആണെന്ന് പറയാം അതുപോലെ ഒരു കുന്ന് നടന്നു കയറുന്നതു സങ്കല്പിക്കുക. നമ്മൾ നടക്കുമ്പോൾ ഉയരത്തിലേക്ക് നീങ്ങും. അതിൻറെ കൂടെ മുന്നോട്ടും നീങ്ങില്ലേ. അതായത്, ഒരു കെട്ടിയിട്ട കയറിൽ കേറി നേരെ മുകളിലോട്ട് നീങ്ങുന്നത് പോലെ അല്ലല്ലോ. നമ്മൾ കേറാൻ തുടങ്ങിയ പോയിന്റിൽ നിന്നും മുന്നോട്ടും നമ്മൾ നീങ്ങുമല്ലോ. ആ മുന്നോട്ടുള്ള നീളത്തെ x എന്നും ഓരോ x പോയിന്റിലെ പൊക്കത്തിനെ y എന്നും എടുത്താൽ, കുന്നിൻറെ പൊക്കം എന്ന y യെ, x ന്റെ ഫങ്‌ഷൻ ആയി കണക്കാക്കാം.

നല്ല കുത്തനെയുള്ള കേറ്റം ആണെങ്കിൽ മുന്നോട്ട് അധികം പോകാതെ തന്നെ പൊക്കം അങ്ങ് കൂടും. അപ്പോൾ x ന്റെ മാറ്റത്തിനനുസരിച്ചുള്ള y മാറ്റം കൂടുതലാണെന്ന് പറയാം. Calculus ന്റെ ഭാഷയിൽ, ഫസ്റ്റ് ഡെറിവേറ്റിവ് അതായത് dy/dx വലുതാണെന്ന് പറയും .

എന്ത് തരം കുന്നാണെങ്കിലും അടിവാരത്തു എത്തിയാൽ പിന്നെ സുഖമാണ്, മുന്നോട്ട് നീങ്ങിയാലും പൊക്കം കൂടില്ല. മുന്നിൽ മറ്റൊരു കുന്നുണ്ടെങ്കിൽ കൂടി, അടിയിലെ ആ ഭാഗത്തു x മാറിയാലും y മാറില്ല. അതായത്,

dy/dx = 0

ഇതേ കാര്യം കുന്നിൻ്റെ ഏറ്റവും മുകളിലും സംഭവിക്കും. ഏറ്റവും പൊക്കമുള്ള പോയിന്റിൽ, പിന്നീട് മുന്നോട്ട് നീങ്ങി, കുന്നിറങ്ങി, പൊക്കം കുറയ്ക്കുന്നത് വരെ y മാറാതെ നിൽക്കും. ഇങ്ങനെ, കയറ്റവും ഇറക്കവും ഉള്ള എല്ലാ ഫങ്‌ഷൻന്റെയും അടിവാരവും (minima), ഏറ്റവും ഉയർന്ന പോയിന്റും (maxima) കാണാൻ ഈ സമവാക്യം ഉപയോഗിക്കാൻ പറ്റും.

ഇത് സാദാ കാൽക്കുലസ്. നമുക്ക് വേണ്ടത് പക്ഷേ ഇതുമല്ലല്ലോ. ഏതെങ്കിലും ഒരു ഫങ്‌ഷന്റെ മിനിമം അല്ല. നമ്മുടെ പ്രശ്നത്തിൽ A-യും B-യും കണക്ട് ചെയ്യുന്ന ഓരോ ആകൃതിയും ഒരു ഫങ്ഷൻ ആണ്!. അങ്ങനെ ഒരു കൂട്ടം ഫംഗ്ഷനുകളിൽ ഏറ്റവും സമയം കുറച്ചെടുക്കുന്ന ഫംഗ്ഷൻ കിട്ടണം. ഇതാണ് കാൽക്കുലസ് ഓഫ് വേരിയേഷൻസ് ചെയ്യുന്നത്. ഫംഗ്ഷനുകളാൽ ഒരു ഫംഗ്ഷൻ ഉണ്ടാക്കുന്നു. എന്നിട്ട് അതിനെ മിനിമൈസ് ചെയ്യുന്നു. ഈ ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ഫംഗ്ഷനെ ഫംഗ്ഷണൽ എന്ന് വിളിക്കും. ഇതിൻറെ മുഴുവൻ പ്രക്രിയ കോംപ്ലക്സ് ആണ്. ഫംഗ്ഷനുകളുടെ ലോകത്തേക്ക് ചെന്ന് നമ്മൾ അടിവാരം കണ്ടെത്തുകയാണെന്ന് കരുതിയാൽ മതി. Calculus of variations ഉപയോഗിച്ച് കണ്ടുപിടിക്കുന്ന രണ്ടാമത്തെ പ്രോബ്ലം ആയിരുന്നു brachistochrone. ഇത്ര കഷ്ടപ്പെട്ട് കണ്ടുപിടിച്ച ഉത്തരം എന്താണെന്ന് അറിയണ്ടേ.. ആ curve ഏതാണെന്ന് അറിയണ്ടേ…അതാണ് സുഹൃത്തുക്കളെ സൈക്ലോയ്ഡ് (cycloid)!

നേരത്തെ ന്യൂട്ടൺ വരച്ച പടത്തിൽ A യെയും B യെയും യോജിപ്പിക്കുന്ന തൊട്ടിൽ പോലത്തെ ഒരു വക്രരേഖ (curve) കണ്ടില്ലേ. അതാണ് cycloid. ആ ഷേപ്പിലുള്ള സ്ലൈഡ് ൽ ഉരുളുന്ന പന്ത്, ബാക്കി എല്ലാ പന്തുകളെയും തോൽപ്പിച്ച് ആദ്യം താഴെയെത്തുന്ന കാഴ്ച ദാ നോക്കിക്കേ…

ശരിക്കും ആ curve കണ്ടാൽ ഗലീലിയോ പറഞ്ഞതുപോലെ A യെയും B യെയും കണക്ട് ചെയ്യുന്ന വൃത്താംശം (arc) പോലെ തന്നെ ഇരിപ്പുണ്ട് അല്ലേ. പക്ഷേ ആ arc ഉം cycloid ഉം തമ്മിൽ കാഴ്ചയിൽ ചെറുതും, കണക്കിൽ വലുതുമായ ഒരു വ്യത്യാസം ഉണ്ട്.

അപ്പൊ ശരിക്കും എന്താണ് ഈ cycloid? നേരെയുള്ള റോഡിലൂടെ തെന്നാതെ ഉരുളുന്ന ഒരു ചക്രത്തിലെ ഒരു പോയിൻറ് വരച്ചു ഉണ്ടാക്കുന്ന വക്രരേഖയാണ് cycloid. പറയുമ്പോൾ വൃത്തവും ആയി നല്ല അടുപ്പം ഉള്ളൊരു വക്രരേഖ. എന്നാൽ വൃത്താംശം അല്ല താനും.

ഇച്ചിരി പ്രത്യേകതകൾ ഒക്കെയുള്ള ഒരു സംഭവം ആണേയ് ഈ cycloid. ഗ്രീക്ക് പുരാണത്തിൽ ട്രോജൻ വാർ എന്ന മഹായുദ്ധത്തിനു കാരണമായ ഹെലൻ ഓഫ് ട്രോയ് എന്ന അതിസുന്ദരിയായ ഒരു സ്ത്രീയുടെ കഥയുണ്ട്. അതുപോലെ 17-ാം നൂറ്റാണ്ടിലെ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞരുടെ ഇടയിൽ വഴക്കുണ്ടാക്കാൻ ഒരു കാരണമായതുകൊണ്ട് Helen of Geometers എന്ന ഒരു പേരുംവീണു നമ്മുടെ സൈക്ലോയ്ഡിന്. ഈ പേരിടുന്നത് ഗലീലിയോ തന്നെ. കുറച്ച് അത്ഭുതവിദ്യകൾ ഒക്കെ ഉണ്ടത്രേ ഇതിൻ്റെ കൈയിൽ. പാസ്കൽ എന്ന പ്രസിദ്ധനായ ഫ്രഞ്ച് ശാസ്ത്രജ്ഞൻ കണക്കൊക്കെ ഉപേക്ഷിച്ചു തിയോളജിയിലേക്ക് ഇറങ്ങാൻ നിന്നിരുന്ന കാലം – 1658 ആണ്. ഒരു ദിവസം ഭയങ്കര പല്ലുവേദന. വേദനയിലുംസങ്കടത്തിലും പാസ്കലിനു സൈക്ലോയ്ഡിനെക്കുറിച്ച് ആലോചിക്കാൻ തോന്നി. പെട്ടെന്ന് തന്നെ പല്ലുവേദന മാറിയത്രെ. അതൊരു മായിക സൂചനയായി കണ്ട് അദ്ദേഹം അതിനെക്കുറിച്ച് വിശദമായി പഠിക്കാൻ ഇറങ്ങി. എട്ടു ദിവസത്തിനകം ഫലങ്ങളിലേക്കും എത്തി.

രസം എന്താണെന്ന് വെച്ചാൽ വേറൊരു ‘chrone’ പ്രശ്നത്തിന്റെ ഉത്തരവും സൈക്ലോയ്ഡ്d തന്നെയാണ്! Tautochrone problem – tauto എന്നാൽ ഒരേ പോലെ എന്നാണ്. ഒരു വക്രരേഖയുടെ ഏത് ഭാഗത്തുനിന്ന് ഒരു വസ്തു ഉരുണ്ടുതുടങ്ങിയാലും ഒരേ സമയത്ത് താഴെയെത്തുന്ന തരം വക്രരേഖ ഏതാണെന്നതായിരുന്നു ഈ പ്രശ്നം. ക്രിസ്ത്യൻ ഹൈഗൻസ് (Christian Huygens) എന്ന ശാസ്ത്രജ്ഞൻ 1659-ൽ ഇതും സൈക്ലോയ്ഡ് ആണെന്നു കണ്ടെത്തി.

അങ്ങനെ പല പ്രശ്നങ്ങൾക്കും ഉത്തരമായി സൈക്ലോയ്ഡ് എന്ന സുന്ദരി(രൻ) ഗണിതലോകത്തു തിളങ്ങി നിൽക്കുന്നു. ഈ വലിയ പ്രശ്നത്തിന് ഉത്തരം കണ്ടു പിടിക്കുന്നതിന്റെ ഇടയിൽ അല്ലറ ചില്ലറ കലമ്പലുകളും ഉണ്ടായി, ചേട്ടാനിയന്മാർ ജേക്കബ്-ജൊഹാൻ ബെർണോളിമാർ തമ്മിൽ മത്സരം ആയി വഴക്കായി. ലൈബ്നിത് സും ബർണോളിയും ചേർന്ന് ന്യൂട്ടനെ പ്രകോപിപ്പിക്കാൻ നോക്കിയത്രേ. “ഇതൊന്നും എനിക്കത്ര പിടിക്കുന്നില്ല” എന്നുള്ള ലൈനിൽ ന്യൂട്ടനുംഎന്തോ പറഞ്ഞു. ഇതിനൊക്കെ ഇടക്ക് കാലചക്രം, സൈക്ലോയ്ഡ് വരച്ചു ഉരുണ്ടോണ്ട് ഇരുന്നു.

അപ്പോൾ പറഞ്ഞു വന്നത്, നിങ്ങൾ പാർക്ക് ൽ ചെല്ലുമ്പോൾ അവർ സ്ലൈഡിൽ കേറ്റിയില്ലെങ്കിൽ “ഞാൻ brachistochrone നോക്കാൻ വന്നതാ” എന്ന് പറഞ്ഞു ധൈര്യമായി മുന്നോട്ട് നീങ്ങുക. അവർ പല്ല് അടിച്ചു കൊഴിച്ചാൽ, സൈക്ലോയ്ഡ് ആലോചിച്ചു കിടന്നാൽ മതി….വേദന മാറുമാരിക്കും!