2023 ലെ ആബെൽ പുരസ്കാരം - ഒരു വിശദീകരണം

Read Time:17 Minute

ഡോ. രാഹുൽ കുമാർ ആർ

പോസ്റ്റ് ഡോക്ടറൽ ഫെല്ലോ, ഗണിതശാസ്ത്ര വകുപ്പ്

ഐ. ഐ. ടി. കാൺപൂർ

കഴിഞ്ഞ വർഷാവസാനം നടന്ന ലോകകപ്പ് ഫുട്ബോൾ ടൂർണ്ണമെന്റിൽ അർജന്റീന വിജയികളായതും ലയണൽ മെസ്സി ഫുട്ബോൾ ഇതിഹാസമായിമാറിയതുമെല്ലാം ഏവർക്കും ഓർമ്മയുണ്ടാവുമല്ലോ. ഈ വർഷം അർജന്റീനക്കാർ ലോകത്തിന് സമ്മാനിച്ചിരിക്കുന്നതാകട്ടെ ഒരു ഗണിതശാസ്ത്ര ഇതിഹാസത്തെയാണ്. അതെ, ഗണിത ശാസ്ത്രത്തിലെ മികച്ച ഗവേഷണ നേട്ടങ്ങൾക്ക് നോർവ്വെയിലെ നോർവീജിയൻ അക്കാദമി ഓഫ് സയൻസ് ആൻഡ് ലെറ്റേർസ് വർഷാവർഷം നൽകിവരുന്ന ആബെൽ പുരസ്കാരത്തിന് ഈ വർഷം അർഹനായിരിക്കുന്നത് അർജന്റീനക്കാരനായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞൻ ലൂയിസ് എ. കഫറെലിയാണ്.

ഗണിതത്തിലെ ഭാഗിക അവകല സമവാക്യങ്ങളെ (Partial Differential Equations or PDE) സംബന്ധിച്ച പതിറ്റാണ്ടുകൾ നീണ്ട ഗവേഷണത്തിനാണ് 74 കാരനായ അദ്ദേഹത്തെ ഈ നേട്ടം തേടിയെത്തിയത്. 75 ലക്ഷം നോർവീജിൻ ക്രോൺ (ഏകദേശം 6 കോടി ഇന്ത്യൻ രൂപ) യാണ് ഈ പുരസ്കാരത്തിൻ്റെ സമ്മാനത്തുക. നൊബേൽ പുരസ്കാര മാതൃകയിൽ ജേതാവിനെ കണ്ടെത്തുന്നതിനാൽ ഈ പുരസ്കാരം ഗണിതശാസ്ത്ര നൊബേൽ എന്നുകൂടി അറിയപ്പെടാറുണ്ട്.

1972-ൽ അർജന്റീനയിലെ യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് ബ്യൂണസ്സ് അയേഴ്‌സിൽ നിന്നും ഗവേഷണ ബിരുദം നേടിയ ലൂയിസ് കഫറെലി തുടർന്നുള്ള കാലമിത്രയും തന്റെ ഗവേഷണ മേഖലയിലെ മുൻനിര താരമായി തുടർന്നുപോരുന്നു. നിലവിൽ അമേരിക്കയിലെ യൂണിവേഴ്സിറ്റി ഓഫ് ടെക്സാസ്-ഓസ്റ്റിനിൽ പ്രൊഫസറായി സേവനമനുഷ്ഠിക്കുന്ന അദ്ദേഹം 130 ഓളം ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരോട് ശാസ്ത്ര ലേഖനരചനയിൽ സഹകരിക്കുകയും 300 ഇൽ അധികം ഗവേഷണ ലേഖനങ്ങൾ പ്രസദ്ധീകരിക്കുകയും ചെയ്തിട്ടുണ്ട്. പ്രൊഫ. കഫറെലിയുടെ ലേഖനങ്ങൾ മറ്റു ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞൻമാർ 19000 തവണ തങ്ങളുടെ കണ്ടെത്തലുകളിൽ പരാമർശിച്ചിട്ടുണ്ട് എന്നത് ഭാഗിക അവകല സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള (PDE) മനുഷ്യരാശിയുടെ അറിവിനെ രൂപപ്പെടുത്തുന്നതിലും വിപുലീകരിക്കുന്നതിലും അദ്ദേഹത്തിൻ്റെ ഗവേഷണങ്ങൾ എത്രത്തോളം സഹായിച്ചിട്ടുണ്ട് എന്നതിന്റെ സൂചനയാണ്.

ഭൗതികലോകത്തെ വിശദീകരിക്കാൻ ശാസ്ത്രജ്ഞർ കണ്ടെത്തുന്ന ഒരു ഉപാധിയാണ് സമവാക്യങ്ങൾ. ‘ഒരു വസ്തുവിന്മേൽ അനുഭവപ്പെടുന്ന ആക്കവത്യാസത്തിന്റെ (change in momentum) നിരക്ക് അതിന്മേൽ പ്രയോഗിക്കപ്പെടുന്ന ബലത്തിന് നേർ അനുപാതത്തിലും, ആക്കവത്യാസം സംഭവിക്കുന്നത് ബലത്തിൻ്റെ ദിശയിലുമായിരിക്കും’ എന്ന ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം ചലനനിയമത്തെ F=ma എന്ന് സമവാക്യരൂപേണ വിശദീകരിക്കുന്നത് ഓർക്കുമല്ലോ. ഇത്തരത്തിൽ ന്യൂട്ടൺ എന്ന പ്രതിഭാശാലി ഭൗതികലോകത്തെ സമവാക്യരൂപേണ വിശദീകരിച്ചതാണ് ആധുനിക ശാസ്ത്രത്തിന്റെ തുടക്കകാലം എന്ന് കരുതാം. ന്യൂട്ടന്റെ ചലനനിയമങ്ങൾ ശാസ്ത്രത്തെ ആശയപരമായി മുന്നോട്ട് നയിച്ചതോടൊപ്പം ഇത്തരം ആശയങ്ങളെ സമവാക്യവൽക്കരിക്കാൻ വേണ്ട ഒരു പുതിയ ഗണിതശാസ്ത്രപദ്ധതിയുടെ ആവശ്യകതയിലേക്ക്കൂടി വിരൽചൂണ്ടി. ഇത്തരത്തിൽ ന്യൂട്ടണും സമകാലീനനായ ലെബ്നീസും രൂപകല്പന ചെയ്ത പുതിയ ഗണിതശാസ്ത്ര പദ്ധതിയാണ് കാൽക്കുലസ്.

തൽക്ഷണ മാറ്റനിരക്ക് അഥവാ ഇൻസ്റ്റന്റേനിയസ് റേറ്റ് ഓഫ് ചേഞ്ച് എന്നത് കാൽക്കുലസിലെ പ്രധാന ആശയങ്ങളിലൊന്നാണ്. പേര് സൂചിപ്പിക്കന്നതുപോലെ ഒരു വസ്തുവിന് തൽക്ഷണം സംഭവിക്കുന്ന മാറ്റത്തിന്റെ നിരക്കാണിത്. വാഹനങ്ങളിലെ സ്പീഡോമീറ്ററിൽ കാണിക്കുന്ന വേഗത തൽക്ഷണ വേഗതയാണ്. ഗണിതത്തിലെ തൽക്ഷണ മാറ്റനിരക്ക് സംബന്ധിയായ സമവാക്യങ്ങളെ അവകല സമവാക്യങ്ങൾ (Differential Equations) എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്. ഇത്തരം സമവാക്യങ്ങളെ രണ്ടായി തിരിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഒരു ഘടകത്തെ (Parameter) മാത്രം സംബന്ധിച്ചവയെന്നും ഒന്നിലധികം ഘടകങ്ങളെ സംബന്ധിച്ചവയെന്നും. ഇതിൽ രണ്ടാമത്തെ കൂട്ടരെയാണ് ഭാഗിക അവകല സമവാക്യങ്ങൾ (PDE) എന്ന് വിളിക്കുന്നത്.

ഒരു ഭൗതികവ്യൂഹത്തെ (Physical System) ക്കുറിച്ച് നാം കൂടുതൽ മനസ്സിലാക്കുന്നത് അവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട അവകല സമവാക്യങ്ങൾ വിശകലനം ചെയ്യുന്നതിലൂടെയാണ്. അതുകൊണ്ടുതന്നെ താപം, ശബ്ദം, ഇലക്ട്രോമാഗ്നറ്റിക് വികിരണങ്ങൾ, ക്വാണ്ടം മെക്കാനിക്സ് തുടങ്ങിയവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പഠനത്തിൽ PDE കൾ സ്വാഭാവികമായും കടന്നുവരും. കൂടാതെ എപ്പിഡെമിക്, സ്റ്റോക്ക് മാർക്കറ്റ്, ജനപ്പെരുപ്പം തുടങ്ങിയവയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട സാമൂഹിക സ്വഭാവ പഠനങ്ങളിലും PDE കൾ പ്രാധാന്യം അർഹിക്കുന്നു.

ഒരു വ്യൂഹത്തിന്റെ ഭാവി അനുമാനിക്കാനുള്ള PDE കളുടെ കഴിവാണ് അവയെ താരങ്ങളാക്കുന്നത്. ഉദാഹരണത്തിന്, ഒരു ബോൾ മുകളിലേക്ക് എറിയുമ്പോൾ ഉള്ള അനുവൃത്തകൃതി (Parabolic) യിലുള്ള അതിന്റെ സഞ്ചാരത്തെ വിശദീകരിക്കുന്നത് ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം ചലന നിയമത്തിൽനിന്നും ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരുന്ന അവകല സമവാക്യങ്ങളെ വിലയിരുത്തുക വഴിയാണ്. ശക്തികൂട്ടുകയും എറിയുന്ന കോണിൽ മാറ്റം വരുത്തുകയും ചെയ്യുമ്പോൾ അതിനാനുപാതികമായി അനുവൃത്തതിന്റെ വലിപ്പത്തിലും വ്യത്യാസം വരുന്നുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. അതായത് ഇൻപുട്ടിന് ആനുപാതികമായ ഔട്ട്പുട്ടാണ് ലഭിക്കുന്നത്. ബോൾ അനിയന്ത്രിതമായി പുറത്തേക്കുപോവുന്ന സാഹചര്യം ഇല്ല എന്ന് ചുരുക്കം.

വിശാല അർത്ഥത്തിൽ പ്രൊഫ. കഫറെലിയുടെ ഗവേഷണങ്ങൾ പ്രധാനമായും ഉന്നം വയ്ക്കുന്നത് ഇത്തരത്തിൽ ഇൻപുട്ടിന് ആനുപാതികമായാണോ PDE കൾ ഔട്ട്പുട്ട് തരുന്നത്, അതോ മറിച്ച് അനിയന്ത്രിതവും ക്രമാനുഗതമല്ലാത്തവയുമാണോ (Irregular) എന്നതാണ്.

പ്രൊഫ. കഫറെലി തന്റെ ഗവേഷണത്തിന്റെ തുടക്കകാലം ചെലവഴിച്ചത് പ്രതിബന്ധ പ്രശ്നങ്ങൾ (Obstacle Problems) എന്നറിയപ്പെടുന്ന ഒരുകൂട്ടം ഗണിതചോദ്യങ്ങൾക്ക് ഉത്തരം നൽകാനാണ്. ഈ ചോദ്യങ്ങൾ പൊതുവായി ഉത്തരം തേടുന്നത് ഒരു ഇലാസ്റ്റിക് സ്തരം (Elastic membrane) കാഠിന്യം കൂടിയ പ്രതലത്തോട് അമർത്തുമ്പോൾ എപ്പോഴാണ് തുലനാവസ്ഥയിലേക്ക് (Equilibrium) എത്തുന്നത് എന്നതാണ്. ഒരു ബലൂൺ ഭിത്തിയോട് ചേർത്ത് അമർത്തുമ്പോൾ സംഭവിക്കുന്നത് ഇതേ സാഹചര്യമാണെന്ന് വ്യക്തമാണല്ലോ. ഇത്തരം ചോദ്യങ്ങൾ അദ്ദേഹത്തെ നയിച്ചത് കുറച്ചുകൂടി വിപുലമായ ഗണിതത്തിലെ അതിർത്തിമുക്ത സമസ്യ (Free Boundary Problems) കളിലേക്കാണ്. ഇവിടെ പരിഗണിക്കുന്ന സമസ്യകളിൽ അതിർത്തി വ്യക്തമായും നിർണ്ണയിക്കപ്പെട്ടിട്ടില്ലാത്തത് കൊണ്ടാണ് ഈ പേര് നൽകിയിട്ടുള്ളത്. ബലൂൺ ഭിത്തിയോട് അമർത്തുന്നതോ ഐസ് ഉരുകുന്നതോ ഒക്കെ ഈ ചോദ്യ സന്ദർഭങ്ങൾക്ക് ഉദാഹരണങ്ങളാണ്. അതിർത്തിമുക്ത സമസ്യകളിൽ വിപ്ലവാത്മക മുന്നേറ്റങ്ങൾ നടത്തിയ ശേഷം അദ്ദേഹം ശ്രദ്ധചെലുത്തിയത് ഭാഗിക അവകല സമവാക്യങ്ങളിലെ ഏറ്റവും പ്രശസ്തമായ നെവിയർ- സ്റ്റോക്ക്സ് സമവാക്യത്തിലേക്കും (Navier- Stokes Equation) മോങ് – ആംപിയർ സമവാക്യത്തിലേക്കുമാണ് (Monge – Ampere Equation). ഭൗതികവ്യൂഹത്തിന്റെ ഭാവി അനുമാനിക്കാനുള്ള അവയുടെ കഴിവുകൊണ്ടുതന്നെ ശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരും എഞ്ചിനീയർമാരും ദിനംപ്രതിയെന്നോണം കൈകാര്യം ചെയ്യുന്ന സമവാക്യങ്ങളാണിവ.

പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പിറവികൊണ്ട നെവിയർ – സ്റ്റോക്ക്സ് സമവാക്യം ദ്രവബലതന്ത്രത്തിലെ (Fluid Mechanics, ഒരു ദ്രവത്തിൻ്റെ ചലനത്തെയും അതിന്മേൽ അനുഭവപ്പെടുന്ന ബലത്തിനെയും കുറിച്ചുള്ള പഠനം) ഒരു പ്രധാന ആശയങ്ങളിൽ ഒന്നാണ്. ഉദാഹരണത്തിന് വെള്ളത്തിലൂടെ ഒരു ബോട്ട് മുന്നോട്ട് നീങ്ങുമ്പോൾ ഉണ്ടാവുന്ന ഓളത്തെയും ജെറ്റ് വിമാനം മുന്നോട്ട് പായുമ്പോൾ ഉണ്ടാവുന്ന പുകയുടെ ചലനത്തെയുമൊക്കെ വിശദീകരിക്കാൻ ഈ സമവാക്യത്തിലൂടെ കഴിയും. ന്യൂട്ടന്റെ രണ്ടാം ചലന നിയമത്തിൽ നിന്നും (F=ma) ഉരുത്തിരിഞ്ഞുവരുന്ന ഈ സമവാക്യമനുസരിച്ച് ദ്രവത്തിന്റെ പിണ്ഡത്തെ (Mass) ത്വരണകൊണ്ട് (Acceleration) ഗുണിച്ചാൽ അതിന്മേൽ അനുഭവപ്പെടുന്ന ആകെ ബലം, അതായത് ദ്രവത്തിന്റെ പ്രഷർ(p), വിസ്കോസിറ്റി കൂടാതെ ഗ്രാവിറ്റി (F) എന്നിവയുടെ തുക ലഭിക്കും. ചിത്രത്തിൽ രണ്ടാമത്തെ സമവാക്യം ശ്രദ്ധിക്കുമല്ലോ. ഒന്നാമത്തെ സമവാക്യം ദ്രവത്തിന്റെ സ്വഭാവവുമായി ബന്ധപ്പെട്ടതാണ്.

നെവിയർ- സ്റ്റോക്സ് സമവാക്യത്തിന്റെ ഉപയോഗം സാർവത്രികമാണെന്നിരിക്കെത്തന്നെ, അവയെ മുഴുവനായും മനസ്സിലാക്കാൻ ശാസ്ത്രലോകത്തിന് കഴിഞ്ഞിട്ടില്ല എന്നത് വസ്തുതയാണ്. ദ്രവത്തിന്റെ പ്രഷറിലോ വിസ്കോസിറ്റിയിലോ വരുത്തുന്ന ചെറിയ മാറ്റങ്ങൾക്കനുസരിച്ച് ദ്രവത്തിന് അനിയന്ത്രിത വേഗതയിലെത്താൻ കഴിയുമോ എന്നത് വിഷമം പിടിച്ച ചോദ്യമാണ്. ഭൗതിക ലോകത്തെ വേഗത നിയന്ത്രിതമാണെന്നിരിക്ക, ഇതേ ചോദ്യം മറ്റൊരുരീതിയിൽ ആരായാൻ കഴിയുക നെവിയർ- സ്റ്റോക്ക്സ് സമവാക്യം എല്ലായിപ്പോഴും യാഥാർത്ഥ്യത്തോട് പൊരുത്തപ്പെടുന്നവയാണോ അല്ലയോ എന്ന ചോദ്യത്തിലൂടെയാണ്. ഈ ചോദ്യത്തിന് ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരുടെ പക്കൽ ഇപ്പോഴും പൂർണ്ണമായ ഉത്തരം ഇല്ല എന്നത് വസ്തുതയാണ്. ഇതിന് ശരിയായ ഉത്തരം നൽകുന്ന ആദ്യ വ്യക്തിക്ക് അമേരിക്കയിലെ ‘ക്ലേ മാത്തമാറ്റിക്സ് ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ‘ഒരു മില്യൺ യു.എസ് ഡോളർ (ഏകദേശം 8.5 കോടി ഇന്ത്യൻ രൂപ) സമ്മാനത്തുക പ്രഖ്യാപിച്ചിട്ടുമുണ്ട്. ഈ ചോദ്യത്തിന് ഉത്തരംകണ്ടെത്തൽ കഠിനമാണ് എന്നത് തന്നെയാണ് ഇത്രയും വലിയ തുക സമ്മാനമായി നൽകാനുള്ള കാരണം. ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് ഇതേ സമ്മാനത്തുക പ്രഖ്യാപിച്ചിട്ടുള്ള ഏഴ് ചോദ്യങ്ങളിൽ ഒന്നാണിത്.

ഒരുപക്ഷേ നെവിയർ – സ്റ്റോക്ക്സ്‌ സമവാക്യം എല്ലായിപ്പോഴും യാഥാർത്ഥ്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെട്ടുകൊള്ളണമെന്നില്ല എന്നാണ് ഭാവിയിലെ കണ്ടെത്തലെങ്കിൽ, ദ്രവചലനത്തെ വിശദീകരിക്കുന്നതിൽ നിലവിലെ ഗണിതശാസ്ത്രമോഡലിന് പോരായ്മകളുണ്ട് എന്ന് അനുമാനിക്കേണ്ടിവരും. 1982 ഇൽ പ്രൊഫ. കഫറെലി പ്രശസ്ത ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരായ റോബർട്ട് കൊന്നിനും ലൂയിസ് നിരൻബർഗിനുമൊപ്പം പ്രസിദ്ധീകരിച്ച ലേഖനത്തിൽ ഈ സമവാക്യം യാഥാർത്ഥ്യവുമായി പൊരുത്തപ്പെടാത്തവയാണെങ്കിൽ അത് ക്ഷണിക നേരത്തേക്ക് മാത്രമാവുമെന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രപരമായി തെളിയിച്ചിട്ടുണ്ട്. ഇതുവരെയുള്ള ഗവേഷണങ്ങളിൽ ക്ലേ ഇൻസ്റ്റിറ്റ്യൂട്ട് പ്രഖ്യാപിച്ച 1 മില്യൺ ഡോളർ ചോദ്യത്തിന്റെ ഉത്തരത്തോട് ഏറ്റവും അടുത്തുനിൽക്കുന്നത് ഇവരുടെ ഈ കണ്ടെത്തലാണ്.

കഫറെലി തന്റെ അസാമാന്യ ജ്യാമിതീയ ഉൾക്കാഴ്ച്ചകൊണ്ടും സമർത്ഥമായ തന്റെ വിശകലന ഉപാധികൾ കൊണ്ടും ഭാഗിക അവകല സമവാക്യങ്ങളെക്കുറിച്ചുള്ള ഗവേഷണത്തിൽ ബൃഹത്തായ മുന്നേറ്റങ്ങളാണ് നടത്തിക്കൊണ്ടിരിക്കുന്നത് എന്നാണ് ആബെൽ പുരസ്കാര സമിതി അഭിപ്രായപ്പെട്ടത്.

പത്തൊൻപതാം നൂറ്റാണ്ടിൽ നോർവ്വെയിൽ ജീവിച്ചിരുന്ന ഇതിഹാസ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞനായ നീൽസ് ഹെന്റിക് ആബെലിന്റെ സ്മരണാർത്ഥമാണ് ആബെൽ പുരസ്കാരം ഏർപ്പെടുത്തിയിട്ടുള്ളത്. 27 ആം വയസ്സിൽ ക്ഷയരോഗം ബാധിച്ചാണ് ആബെൽ മരണപ്പെടുന്നത്. പിന്മുറക്കാരായ ഗണിതശാസ്ത്രജ്ഞന്മാരെ ചുരുങ്ങിയത് 500 വർഷക്കാലത്തേക്ക് കർമ്മനിരതരാക്കാൻ തക്കവണ്ണമുള്ള സാധ്യതകൾ തുറന്നുതന്നിട്ടാണ് അബേൽ നമ്മെ വിട്ടുപോയത് എന്നാണ് പ്രശസ്ത ഫ്രഞ്ച് ഗണിത ശാസ്ത്രജ്ഞൻ ചാൾസ് ഹെർമൈറ്റ് അഭിപ്രായപ്പെട്ടിട്ടുള്ളത്. 2003 മുതൽ വർഷാവർഷം നൽകിപ്പോരുന്ന ആബെൽ പുരസ്കാരം 2007 ൽ ലഭിച്ചത് ഇന്ത്യക്കാരനായ എസ്. ആർ. ശ്രീനിവാസ വരദനാണ്.

വിവരങ്ങൾക്ക് കടപ്പാട്: https://abelprize.no/