കോനിഗ്സ്ബർഗിലെ ഏഴു പാലങ്ങൾ

Read Time:19 Minute

ഡോ. സന്ദീപ് ആർ. ബി.

അസിസ്റ്റന്റ് പ്രൊഫസർ

ഐ. ഐ. ടി. ധാർവാഡ്

പേന കടലാസിൽ നിന്നെടുക്കാതെ താഴെ കൊടുത്ത ചിത്രം (1) വരയ്ക്കാൻ പറ്റുമോ? ഇത്തരമൊരു കളി നമ്മളിൽ പലരും കളിച്ചിട്ടുണ്ടാകുമല്ലോ? ഇതിന്റെ മറ്റൊരു രൂപം പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ പ്രഷ്യയിൽ പ്രചരിച്ചതും അതിനുള്ള ഉത്തരം ഗ്രാഫ് തിയറിയെന്ന ഗണിതശാസ്ത്ര ശാഖയ്ക്ക് തുടക്കമിട്ടതും എങ്ങനെയെന്നാണ് നമ്മൾ കാണാൻ പോകുന്നത്.

റഷ്യയിലെ കലീനൻഗ്രാഡ് എന്ന നഗരം 1946 വരെ കോനിഗ്സ്ബർഗ് (Königsberg) എന്നാണ് അറിയപ്പെട്ടിരുന്നത്. പതിനെട്ടാം നൂറ്റാണ്ടിൽ അവിടെയുള്ള ആളുകൾക്കിടയിൽ രസകരമായ ഒരു ഗണിത പ്രശ്നം പ്രചരിച്ചു. പ്രിഗോല്യ നദിയിലെ ഒരു തുരുത്തിനെ കരകളുമായി ബന്ധിപ്പിച്ച് ഏഴു പാലങ്ങളാണ് നഗരത്തിലുണ്ടായിരുന്നത്. ഒരാൾക്ക് ആ ഏഴു പാലങ്ങളിലൂടെയും ഒന്നു കഴിഞ്ഞു മറ്റൊന്നെന്ന രീതിയിൽ നടന്നു പോകാൻ പറ്റുമോ എന്നതായിരുന്നു പ്രശ്നം. ഒരു പാലത്തിലൂടെ ഒന്നിൽ കൂടുതൽ തവണ നടക്കാൻ പാടില്ല. മാത്രമല്ല, മറ്റു സഞ്ചാര മാർഗങ്ങൾ ഉപയോഗിക്കാനും പാടില്ല. നഗരത്തിൽ നിന്നും ആയിരം കിലോമീറ്റർ വടക്ക് കിഴക്കുള്ള സെയിന്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗിലെ റഷ്യൻ ശാസ്ത്ര അക്കാദമിയിലെ ഗണിത-ഭൗതിക ശാസ്ത്രകാരനായിരുന്ന ലിയോനാഡ് ഓയ്‌ലറുടെ (Leonhard Euler) ചെവിയിലും ആ പ്രശ്‌നമെത്തി. 1936-ൽ അദ്ദേഹമതിനൊരു ഉത്തരം കണ്ടെത്തി. ഇതൊക്കെ അത്ര വലിയ പ്രശ്നമാണോയെന്നും ഒരാൾക്ക് ഏഴു പാലങ്ങളിലൂടെയും നടന്നു പോകാനുള്ള എല്ലാ സാധ്യതകളും പരിശോദിച്ചാൽ ഉത്തരം കിട്ടുമല്ലോയെന്നും നമ്മളിൽ പലരും കരുതുന്നുണ്ടാകും. എന്നാൽ നമുക്കതൊന്ന് ശ്രമിച്ചു നോക്കാം. കോനിഗ്സ്ബർഗിലെ കരകളും പാലങ്ങളും എങ്ങനെയാണ് ബന്ധപ്പെട്ടിരിക്കുന്നതെന്ന് ചിത്രം 2-ൽ കാണാം.

ചിത്രം 2: കോനിഗ്സ്ബർഗിലെ പാലങ്ങൾ. കടപ്പാട്: ഓയ്‌ലറുടെ പ്രബന്ധം കടപ്പാട് : https://www.cantab.net/

നമുക്ക് A എന്ന കരയിൽ നിന്നും തുടങ്ങാം. അവിടെ നിന്നും പുറത്ത് പോകാൻ 5 പാലങ്ങളുണ്ട് – a, b, c, d, e. അതിനാൽതന്നെ അഞ്ചു സാധ്യതകളുമുണ്ട്. അതിലൊരു സാധ്യതയായ പാലം a യിലൂടെ നടത്തം തുടരാം. പാലം a ചെന്നെത്തുന്നത് B എന്ന കരയിലാണല്ലോ. അവിടെനിന്ന് പുറത്ത് പോകാൻ രണ്ടു പാലങ്ങളാണ് ഉള്ളത് – b, f (a എന്ന പാലത്തിലൂടെ ഇനി നടക്കാൻ പാടില്ല). അതിലൊരു സാധ്യതയായ പാലം b യിലൂടെ നടത്തം തുടരാം. തിരിച്ച് A യിലെത്തിയാൽ പിന്നെ മൂന്നു സാധ്യതകൾ – c, d, e (a യിലൂടെയും b യിലൂടെയും ഇനി പോകാൻ പാടില്ല). ഈ രീതിയിൽ നടത്തം തുടർന്നാലുള്ള ഒരു സാധ്യതയെ നമുക്ക് ഇങ്ങനെ രേഖപ്പെടുത്താം: A – a – B – b – A – c – C – d – A – e – D – f – B. പക്ഷെ g എന്ന പാലം കടന്നിട്ടില്ല. അവസാനമെത്തിയ കരയായ B യിൽ നിന്നും പാലം g കടക്കാൻ കഴിയാത്തതിനാൽ അക്ഷരാർത്ഥത്തിൽ നമുക്ക് വഴി മുട്ടിയിരിക്കുന്നു. ഈ ഒരു അഭ്യാസത്തിൽ നിന്നും ഒട്ടനവധി സാധ്യതകൾ പരിശോധിച്ചാലേ ഈ രീതിയിൽ പ്രശ്നത്തിനൊരു ഉത്തരം കിട്ടുകയുള്ളുവെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഇനി മിനക്കെട്ടിരുന്ന് ഇങ്ങനെയൊരുത്തരം കണ്ടെത്തിയാൽ തന്നെ, കൂടുതൽ പാലങ്ങളും കരകളുമുള്ള ഒരു സാങ്കല്പിക നഗരത്തിലെ പ്രശ്നം പരിഹരിക്കാൻ (കമ്പ്യൂട്ടറിന്റെ സഹായമില്ലാതെ) ഇങ്ങനെ കഴിയില്ലെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം

ഇത് തന്നെയാണ് ഓയ്‌ലറും ചിന്തിച്ചത്. കോനിഗ്സ്ബർഗിൽ അങ്ങനെയൊരു പാത സാധ്യമല്ല എന്നു മാത്രമല്ല, പാലങ്ങളും കരകളുമുള്ള ഏതൊരു സാങ്കല്പിക നഗരത്തിലും അങ്ങനെയൊരു പാത സാധ്യമാകുമോ എന്നറിയാനുള്ള ഒരു എളുപ്പ വിദ്യയും അദ്ദേഹം കണ്ടു പിടിച്ചു. അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഓർമയ്ക്ക് അത്തരം പാതയെ ‘ഓയ്‌ലർ പാത’ എന്നാണ് വിളിക്കുന്നത്. ഇനി നമുക്ക് ഓയ്‌ലറുടെ കൂടെ നടക്കാം.

കോനിഗ്സ്ബർഗിൽ ഒരു ഓയ്‌ലർ പാത ഉണ്ടെന്ന് കരുതാം. ആ പാത തുടങ്ങുന്നത് X എന്ന കരയിലാണെന്ന് കരുതാം. അത് A, B, C, D എന്നീ കരകളിൽ ഏതു വേണമെങ്കിലും ആവാം. ആ പാത Y എന്ന കരയിലാണ് അവസാനിക്കുന്നതെന്ന് കരുതാം. ആ കരയും A, B, C, D എന്നീ കരകളിൽ ഏതു വേണമെങ്കിലും ആവാം. തുടങ്ങുന്നതും അവസാനിക്കുന്നതും ഒരു കരയിലാകുന്നതുകൊണ്ട് പ്രശ്നമൊന്നുമില്ല. ഇനി Z എന്ന കര, X-ഉം Y-ഉം അല്ലാത്ത ഒരു കരയാണെന്ന് കരുതുക. എല്ലാ കരകളുമായും ബന്ധപ്പെട്ട് പാലങ്ങൾ ഉള്ളതിനാൽ ഓയ്‌ലർ പാത എല്ലാ കരകളെയും തൊടുമെന്നുറപ്പാണ്. അതിനാൽ, നമ്മുടെ ഓയ്‌ലർ പാതയിൽ Z എന്ന കര ഒന്നോ അതിലധികമോ തവണ വന്നു പോകുന്നു. ഓരോ തവണ Z-ൽ എത്തുന്നത് ഒരു പാലം വഴിയാണ്. പുറത്തു പോകുന്നതും ഒരു പാലം വഴിയാണ്. Z-ൽ വരുകയോ Z-ൽ നിന്ന് പോവുകയോ ചെയ്യാതെ Z-ൽ ചേർന്ന ഒരു പാലത്തിലൂടെ സഞ്ചരിക്കാൻ പറ്റില്ല. അതിനാൽ Z-ൽ തൊടുന്ന പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയായിരിക്കണം. ഇതിൽ നിന്ന് X-ഉം Y-ഉം അല്ലാത്ത ഏത് കരയുമായും ബന്ധപ്പെട്ട പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണെന്ന് കിട്ടുന്നു.

അടുത്തതായി X-ഉം Y-ഉം ഒരേ കരയാണെന്ന് കരുതുക. അതായത് തുടങ്ങുന്നതും അവസാനിക്കുന്നതും ഒരേ കരയിൽ തന്നെ. ആ ഒരു കരയിലേക്ക് പുറത്തു പോകുന്ന അത്രയും തവണ തിരിച്ചു വരുന്നുണ്ടല്ലോ? അതിനാൽ ആ ഒരു കരയുമായ് ബന്ധപ്പെട്ട പാലങ്ങളുടെ എണ്ണവും ഒരു ഇരട്ട സംഖ്യയാണെന്ന് കിട്ടുന്നു. ഇനി X-ഉം Y-യും ഒരേ കരയല്ലെന്ന് കരുതുക. അതായത് തുടങ്ങുന്ന കരയിലല്ല അവസാനിക്കുന്നത്. അപ്പോൾ X-ൽ നിന്ന് ആദ്യം പുറത്തു കടക്കാൻ ഒരു പാലവും പിന്നെ ഓരോ തവണ വന്നു പോകാൻ രണ്ടു പാലങ്ങൾ വീതവും ഉപയോഗിക്കുന്നുണ്ടെന്ന് കാണാം. അതിനാൽ X-ൽ തൊടുന്ന പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയാണ്. ഇതുപോലെ തന്നെ ചിന്തിച്ചാൽ Y-ൽ തൊടുന്ന പാലങ്ങളുടെ എണ്ണവും ഒരു ഒറ്റസംഖ്യയാണെന്ന് കിട്ടുന്നു.

മുകളിൽ പറഞ്ഞതനുസരിച്ച് തുടങ്ങിയെടുത്താണ് അവസാനിക്കുന്നതെങ്കിൽ ഓരോ കരയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം ഇരട്ട സംഖ്യയാണെന്ന് മനസ്സിലാക്കാം. ഇനി തുടങ്ങിയെടുത്തല്ല അവസാനിക്കുന്നതെങ്കിൽ ആദ്യത്തെയും അവസാനത്തെയും കരകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പാലങ്ങളുടെ എണ്ണങ്ങൾ ഒറ്റ സംഖ്യകളാണെന്നും മറ്റുള്ള കരകളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പാലങ്ങളുടെ എണ്ണങ്ങൾ ഇരട്ടസംഖ്യകളാണെന്നും കിട്ടുന്നു. അതായത് പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒറ്റസംഖ്യയുള്ള കരകളുടെ എണ്ണം ഒന്നുകിൽ പൂജ്യവും അല്ലെങ്കിൽ രണ്ടുമാണ്. കോനിഗ്സ്ബർഗിന്റെ കാര്യത്തിൽ ഇത് ശരിയാണോ? ഓരോ കരയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം പട്ടിക 1-ൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു.

കര	പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം
A	5
B	3
C	3
D	3

പട്ടിക 1

പാലങ്ങളുടെ എണ്ണം ഒറ്റ സംഖ്യയുള്ള കരകളുടെ എണ്ണം 4 ആണല്ലോ. അതിനാൽ കോനിഗ്സ്ബർഗിൽ ഓയ്‌ലർ പാത സാധ്യമല്ല! ഓരോ കരയെയും ഒരു ബിന്ദുവായും പാലങ്ങളെ ബിന്ദുക്കളെ തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വരകളായും ചിത്രീകരിച്ചാൽ നമുക്കു കിട്ടുന്ന ഗണിത രൂപത്തെ വിളിക്കുന്ന പേരാണ് ‘ഗ്രാഫ്’. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന കോനിഗ്സ്ബർഗിന്റെ ഗ്രാഫ് ചിത്രം 3-ൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. ഓരോ ബിന്ദുവിനെയും ‘നോഡ്’ എന്നും അവയെ തമ്മിൽ ബന്ധിപ്പിക്കുന്ന വരയെ ‘എഡ്ജ്’ എന്നും വിളിക്കുന്നു. ഗ്രാഫുകളെ കുറിച്ചുള്ള പഠനമാണ് ഗ്രാഫ് തിയറി. ഒരു നോഡിനെ തൊടുന്ന എഡ്ജ്കളുടെ എണ്ണത്തെ ആ നോഡിന്റെ ‘ഡിഗ്രി’ എന്ന് പറയുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് ചിത്രം 3-ൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്ന ഗ്രാഫിൽ A എന്ന നോഡിന്റെ ഡിഗ്രി 5 ആണ്. നമ്മൾ എത്തിച്ചേർന്ന നിഗമനം ഗ്രാഫ് തിയറിയുടെ വാക്കുകളിൽ ഇങ്ങനെ പറയാം: ഒരു ഗ്രാഫിൽ ഓയ്‌ലർ പാതയുണ്ടാകണമെങ്കിൽ ഒറ്റ സംഖ്യ ഡിഗ്രിയായുള്ള നോഡുകളുടെ എണ്ണം പൂജ്യമോ രണ്ടോ ആയിരിക്കണം.

ഇനി തിരിച്ചൊന്ന് ചിന്തിക്കാം. ഒറ്റസംഖ്യ ഡിഗ്രിയായുള്ള നോഡുകളുടെ എണ്ണം പൂജ്യമോ രണ്ടോ ആയ ഗ്രാഫുകളിലെല്ലാം ഓയ്‌ലർ പാത സാധ്യമാണോ? നമുക്കു നോക്കാം. ഒരു നോഡിൽ നിന്ന് മറ്റൊരു നോഡിലേയ്ക്ക് എത്തിച്ചേരാൻ ഒരു വഴിയുമില്ലാത്ത ഗ്രാഫുകളുണ്ട്. ഉദാഹരണത്തിന് ചിത്രം 4 കാണുക. അവിടെ A, B, C എന്നീ നോഡുകളിൽ നിന്ന് D, E, F എന്നീ നോഡുകളിലെത്തിച്ചേരാൻ ഒരു വഴിയുമില്ല. അത്തരം ഗ്രാഫുകളെ ‘ഡിസ്കണക്ടഡ്’ ഗ്രാഫുകൾ എന്ന് വിളിക്കുന്നു. ഇനി ഓരോ നോഡിൽ നിന്നും മറ്റൊരോ നോഡിലേയ്ക്കും എത്തിച്ചേരാമെങ്കിൽ ‘കണക്ടഡ്’ ഗ്രാഫെന്നും വിളിക്കുന്നു. ഉദാഹരണത്തിന് കോനിഗ്സ്ബർഗ് ഗ്രാഫ് (ചിത്രം 3) ഒരു കണക്ടഡ് ഗ്രാഫാണ്.

ഡിഗ്രി പൂജ്യമായ ഒരു നോഡ് (പാലങ്ങളില്ലാത്ത ദ്വീപ്) ഓയ്‌ലർ പാതയെ ഒരു തരത്തിലും സ്വാധീനിക്കാത്തതിനാൽ എല്ലാ നോഡുകളുടെയും ഡിഗ്രി ഒന്നോ അതിൽ കൂടുതലോ ആണെന്ന് നമുക്കിനി കരുതാം. എങ്കിൽ ഓയ്‌ലർ പാത കണക്ടഡ് ഗ്രാഫുകളിൽ മാത്രമേ സാധ്യമായുള്ളൂ എന്ന് എളുപ്പത്തിൽ മനസ്സിലാക്കാമല്ലോ. അങ്ങനെയെങ്കിൽ ഒറ്റസംഖ്യ ഡിഗ്രിയായുള്ള നോഡുകളുടെ എണ്ണം പൂജ്യമോ രണ്ടോ ആയ കണക്ടഡ് ഗ്രാഫുകളിലെല്ലാം ഓയ്‌ലർ പാത സാധ്യമാണോ? സാധ്യമാണെന്ന് ഓയ്‌ലർ എഴുതിയെങ്കിലും അതിനുള്ള തെളിവായി ചില സൂചനകൾ മാത്രമാണ് പ്രബന്ധത്തിൽ കൊടുത്തത്. വിശദമായ തെളിവ് ഏകദേശം ഒന്നര നൂറ്റാണ്ടുകൾക്ക് ശേഷമാണ് എഴുതപ്പെട്ടത്. അതെങ്ങനെയാണെന്ന് നമുക്ക് നോക്കാം.

എളുപ്പത്തിന് എല്ലാ നോഡുകളുടെയും ഡിഗ്രി ഇരട്ട സംഖ്യയാണെന്ന് കരുതാം. അത്തരമൊരു ഗ്രാഫിൽ (നമുക്കതിനെ G എന്ന് വിളിക്കാം) ഏതെങ്കിലും ഒരു നോഡിൽ തുടങ്ങി അതിൽ തന്നെ അവസാനിക്കുന്ന ഒരു പാത (എല്ലാ എഡ്ജുകളിലൂടെയും പോകണമെന്നില്ല) കണ്ടുപിടിക്കാൻ ബുദ്ധിമുട്ടില്ല. അത്തരമൊരു പാതയെ നമുക്ക് C എന്ന് വിളിക്കാം. ഈ പാതയിൽ പങ്കെടുക്കുന്ന ഓരോ നോഡിലും തൊടുന്ന, C-യുടെ ഭാഗമായ എഡ്ജുകളുടെ എണ്ണം ഇരട്ടസംഖ്യയാണല്ലോ. ഇനി C-യുടെ ഭാഗമായ എല്ലാ എഡ്ജുകളും G -യിൽ നിന്നും ഒഴിവാക്കുക. അങ്ങനെ കിട്ടുന്ന ഗ്രാഫിൽ ഓരോ നോഡിന്റെയും ഡിഗ്രി ഇരട്ട സംഖ്യയാണ്. അതിനാൽ തന്നെ ഈ പ്രക്രിയ ഓരോ കണക്ടഡ് ഭാഗത്തിനും തുടർന്ന് ചെയ്യാൻ കഴിയും. ഏറ്റവും അവസാനം, കിട്ടുന്ന പാതകളെല്ലാം കൂട്ടിച്ചേർത്ത് ഒരു ഓയ്‌ലർ പാത കിട്ടുന്നു. ഒരു ഉദാഹരണം ചിത്രം 5-ൽ കൊടുത്തിരിക്കുന്നു. അതിൽ C ആയി എടുത്തിരിക്കുന്നത് 1, 5, 9, 10, 11, 12 എന്നീ എഡ്ജുകൾ ചേർന്ന പാതയെയാണ്. വളരെ സമാനമായ വിശദീകരണങ്ങളാൽ ഡിഗ്രി ഒറ്റസംഖ്യയായ നോഡുകളുടെ എണ്ണം രണ്ട് ആയ സാഹചര്യത്തിലും തെളിവ് കണ്ടുപിടിക്കാൻ കഴിയും.

ചിത്രം 5: ഒരു ഗ്രാഫും അതിലെ ഓയ്‌ലർ പാതയും.

കോനിഗ്സ്ബർഗിലെ ഏഴു പാലങ്ങളുമായി ബന്ധപ്പെട്ട ഗണിത പ്രശ്നവും അതിനുത്തരം കണ്ടെത്തിയ ഓയ്‌ലറുടെ പ്രബന്ധവും ഗ്രാഫ് തിയറിയുടെ പിറവിയായി കണക്കാക്കപ്പെടുന്നു. ഇന്ന് ഗണിതശാസ്ത്രത്തിലെ ഏറ്റവും ചലനാത്മകമായ ശാഖകളിലൊന്നാണ് ഗ്രാഫ് തിയറി.

ഓയ്‌ലറെക്കുറിച്ച്

ലിയോണാഡ് ഓയ്‌ലർ 1707-ൽ സ്വിറ്റ്സർലൻഡിലെ ബാസൽ നഗരത്തിൽ ഒരു പാസ്റ്ററുടെ മകനായി ജനിച്ചു. ശാസ്ത്രത്തിൽ താല്പര്യമുണ്ടായിരുന്ന അച്ഛന്റെ സഹായത്താൽ മികച്ച വിദ്യാഭ്യാസം നേടാൻ ഓയ്‌ലറിന് സാധിച്ചു. ഇരുപതാം വയസ്സിൽ അദ്ദേഹം സെയിന്റ് പീറ്റേഴ്‌സ്ബർഗിലുള്ള റഷ്യൻ ശാസ്ത്ര അക്കാദമിയിൽ ജോലിയിൽ ചേർന്നു. പിന്നീടുള്ള പതിനാലുവർഷങ്ങൾ അവിടെയും അതിനുശേഷം 25 വർഷങ്ങൾ ബർലിൻ അക്കാദമിയിലും പിന്നീടുള്ള 17 വർഷങ്ങൾ (1783-ൽ മരിക്കുന്നതു വരെ) വീണ്ടും റഷ്യൻ ശാസ്ത്ര അക്കാദമിയിലും ജോലി ചെയ്തു. ഗണിതവും ഭൗതികശാസ്ത്രവുമായിരുന്നു അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഇഷ്ട വിഷയങ്ങൾ. അദ്ദേഹം ജീവിച്ച ദിവസങ്ങളുടെ എണ്ണവും പ്രസിദ്ധീകരിച്ച പ്രബന്ധങ്ങളുടെ പേജുകളുടെ എണ്ണവും (25000+) ഏകദേശം തുല്യമാണ്! മുപ്പത്തൊന്നാം വയസ്സിൽ വലതു കണ്ണിന്റെ കാഴ്ച നഷ്ടപ്പെട്ടതും (ഒരു അസുഖം ബാധിച്ച്) അൻപത്തൊൻപതാം വയസ്സിൽ ഇടതു കണ്ണിന്റെ കാഴ്ച നഷ്ടപ്പെട്ടതും (തിമിരം ബാധിച്ചതിനാലും അതു പരിഹരിക്കാനുള്ള ശസ്ത്രക്രിയ പരാജയപ്പെട്ടതിനാലും) അദ്ദേഹത്തിന്റെ ഗണിത പര്യവേഷണത്തെ ഒരു തരത്തിലും ബാധിച്ചില്ല. അദ്ദേഹത്തിന്റെ പതിമൂന്നു മക്കളിൽ അഞ്ചു പേർ മാത്രമേ ബാല്യം കടന്നുള്ളൂ. ലോകം കണ്ടതിലേറ്റവും വലിയ ഗണിത ശാസ്ത്രകാരന്മാരിലൊരാളായി അദ്ദേഹം അറിയപ്പെടുന്നു.

വായനക്കാർക്കൊരു ചോദ്യം: ചിത്രം 7-ലെ ഗ്രാഫിൽ ഓയ്‌ലർ നടത്തം സാധ്യമാണോ? സാധ്യമാണെങ്കിൽ കണ്ടുപിടിക്കൂ…