ഭാസ്‌കരാചാര്യരുടെ ലീലാവതി


ഡോ.കാവുമ്പായി ബാലകൃഷ്ണന്‍

പ്രാചീനഭാരതത്തിലെ ഏറ്റവും പ്രാമാണികരായ ഗണിത-ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രപണ്ഡിതന്മാരില്‍ ഒരാളായിരുന്നു ഭാസ്‌കരന്‍ രണ്ടാമന്‍. ഭാസ്‌കരാചാര്യന്‍ എന്നാണ് അദ്ദേഹം അറിയപ്പെടുന്നത്. കര്‍ണാടകത്തിലെ വിജയപുരത്ത് (ഇന്നത്തെ ബിജാപ്പൂര്‍) 1114-ല്‍ ആണ് അദ്ദേഹം ജനിച്ചത്. സിദ്ധാന്തശിരോമണി എന്ന തന്റെ ഗ്രന്ഥത്തില്‍ അദ്ദേഹം ഇങ്ങനെ രേഖപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

”രസഗുണപൂര്‍ണമഹീസമ
ശകനൃപസമയേഭവന്മമോല്‍പത്തി:
രസഗുണവര്‍ഷേണ മയാ
സിദ്ധാന്തശിരോമണീ രചിത:”

(ഞാന്‍ ശകവര്‍ഷം 1036-ല്‍ ജനിച്ചു. എന്റെ 36-ാമത്തെ വയസ്സില്‍ സിദ്ധാന്തശിരോമണി രചിച്ചു) AD 78 ലാണ് ശകവര്‍ഷം ആരംഭിക്കുന്നത്. അങ്ങനെയാണ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ ജനനവര്‍ഷം AD 1114 ആയി കണക്കാക്കിയത്. 1150 ആയിരിക്കണം സിദ്ധാന്തശിരോമണിയുടെ രചനാവര്‍ഷം. (പരല്‍പ്പേര് – അക്ഷരസംഖ്യ – അനുസരിച്ചാണ് വര്‍ഷം കണക്കാക്കിയിട്ടുള്ളത്.) ഉജ്ജയിനിയിലെ ഗണിതപഠനകേന്ദ്രത്തിന്റെ തലവനായിരുന്നു ദീര്‍ഘകാലം ഭാസ്‌കരാചാര്യന്‍. ഗണിതശാസ്ത്രത്തില്‍ മൗലികവും അനര്‍ഘവുമായ സംഭാവനകള്‍ നല്‍കിയ അദ്ദേഹം 1185-ല്‍ മരിച്ചു.

സിദ്ധാന്തശിരോമണി, കരണകുതൂഹലം, വിവരണം എന്നിവയാണ് അദ്ദേഹത്തിന്റെ പ്രധാന കൃതികള്‍. സിദ്ധാന്തശിരോമണിക്ക് നാല് ഭാഗങ്ങളുണ്ട് – ലീലാവതി, ബീജഗണിതം, ഗ്രഹഗണിതം, ഗോളാധ്യായം. ആദ്യത്തെ രണ്ടു ഭാഗങ്ങളും ഗണിതശാസ്ത്രവും മറ്റുരണ്ടെണ്ണം ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രവുമാണ്. ഇവ പ്രത്യേകം പ്രത്യേകം ഗ്രന്ഥങ്ങളായും പരിഗണിക്കാറുണ്ട്.

ലീലാവതിയെക്കുറിച്ച് രസകരമായ ഒരു കഥയുണ്ട്: ഭാസ്‌കരാചാര്യന്റെ മകളായിരുന്നു ലീലാവതി. സുന്ദരിയും ബുദ്ധിമതിയുമായിരുന്നു അവള്‍. അവളുടെ ജാതകം പരിശോധിച്ച ഭാസ്‌കരാചാര്യന്‍ ഒരുകാര്യം മനസ്സിലാക്കി. ഒരു പ്രത്യേകദിവസം ഒരു പ്രത്യേകസമയത്ത് കല്യാണം നടന്നില്ലെങ്കില്‍ അവള്‍ അവിവാഹിതയായി കഴിയേണ്ടിവരും. അങ്ങനെ സംഭവിക്കാതിരിക്കാന്‍ അദ്ദേഹം മുന്‍കരുതലുകള്‍ എടുത്തു. മകളുടെ കല്യാണം നിശ്ചയിച്ചു. സമയം കൃത്യമായി അറിയുന്നതിന് അന്ന് യന്ത്രോപകരണങ്ങളൊന്നും ഉണ്ടായിരുന്നില്ല. ആചാര്യന്‍തന്നെ അതിനുള്ള മാര്‍ഗം കണ്ടെത്തി. ഒരു കപ്പുണ്ടാക്കി, അതിനടിയില്‍ ഒരു ദ്വാരമിട്ടു. അത്, നിറയെ വെള്ളമുള്ള ഒരു പാത്രത്തില്‍ ഇറക്കിവച്ചു. കപ്പിന്റെ ദ്വാരത്തില്‍ കൂടി വെള്ളം കയറി, അത് പാത്രത്തിന്റെ അടിത്തട്ടിലേക്ക് മുങ്ങിപ്പോകുന്ന നിമിഷമാണ് വിവാഹമുഹൂര്‍ത്തം.

ഈ സംവിധാനം ഒരുക്കിയതിനുശേഷം ആ പിതാവ് മറ്റു കര്‍മങ്ങളില്‍ മുഴുകി. ജിജ്ഞാസുമായ ലീലാവതി അച്ഛനടുത്തില്ലാത്തപ്പോള്‍ ആ പാത്രത്തിനടുത്തേക്ക് പോയി. കപ്പ് നിറയാന്‍ ഇനി എത്രസമയം എടുക്കുമെന്നറിയാന്‍ അതിലേക്ക് കുനിഞ്ഞുനോക്കി. അപ്പോള്‍ അവളുടെ മൂക്കുത്തിയില്‍നിന്ന് ചെറിയൊരു മുത്ത് അടര്‍ന്ന് കപ്പിലേക്ക് വീഴുകയും അതിന്റെ ദ്വാരം അടയുകയും ചെയ്തു. അക്കാര്യം ലീലാവതി അറിഞ്ഞില്ല. കപ്പ് നിറഞ്ഞില്ല, മുങ്ങിയില്ല. വിവാഹമുഹൂര്‍ത്തം അങ്ങനെ ആരുമറിയാതെ കടന്നുപോയി, വിവാഹം മുടങ്ങി.

ദുഃഖിതയായ ലീലാവതിയെ ആശ്വസിപ്പിക്കാന്‍ ഭാസ്‌കരാചാര്യന്‍ കണ്ടെത്തിയ മാര്‍ഗം, ബുദ്ധിമതിയായ മകളുമായി ഗണിതപ്രശ്‌നങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുകയായിരുന്നു. അച്ഛന്‍ ഉന്നയിക്കുന്ന ഗണിതപ്രശ്‌നങ്ങള്‍ക്ക് ഉത്തരം കണ്ടെത്തുന്നതില്‍ ബുദ്ധി വ്യാപരിപ്പിച്ച് ലീലാവതി പതുക്കെ പതുക്കെ ദുഃഖം മറന്നു; സാധാരണജീവിതത്തിലേക്ക് തിരികെവന്നു.

ഇങ്ങനെയൊരു സംഭവം ഭാസ്‌കരാചാര്യന്‍ എവിടെയും പരാമര്‍ശിച്ചിട്ടില്ല. മനോഹരമായ ഒരു ഭാവനാസൃഷ്ടിയായി ഇതിനെ കരുതിയാല്‍ മതി. എങ്കിലും ലീലാവതിയെ അഭിസംബോധന ചെയ്തുകൊണ്ടാണ് ഇതില ചില പദ്യങ്ങള്‍ രചിച്ചിരിക്കുന്നത്. 1587-ല്‍ ഈ കൃതി അബുള്‍ഫെയ്‌സി പേര്‍ഷ്യനിലേക്ക് വിവര്‍ത്തനം ചെയ്തു. അക്ബര്‍ ചക്രവര്‍ത്തിയുടെ പ്രധാനമന്ത്രിയായിരുന്ന അബുള്‍ ഫാസിലിന്റെ സഹോദരനായിരുന്നു ഫെയ്‌സി.

പി.കെ.കോരുമാസ്റ്റര്‍

1938 ലാണ് പി.കെ.കോരുമാസ്റ്റര്‍ (അക്കാലത്ത് അദ്ദേഹം കണ്ണൂരില്‍ അധ്യാപകനായി ജോലിചെയ്യുകയായിരുന്നു) ലീലാവതിക്ക് മലയാളത്തില്‍ വ്യാഖ്യാനമെഴുതുന്നത്; അത് പ്രസിദ്ധീകരിച്ചത് 1954 ലും. (1945-ല്‍ ഔദ്യോഗികവൃത്തിയില്‍നിന്ന് വിരമിച്ച അദ്ദേഹം ജന്മനാടായ തൃശ്ശൂരിലെ ചിറ്റാട്ടുകരയില്‍ സ്ഥിരതാമസമാക്കുകയും മുല്ലശ്ശേരിയില്‍ സ്‌കൂള്‍ സ്ഥാപിച്ച് അവിടെ അധ്യാപകനായി ജോലിചെയ്യുകയും ചെയ്യുന്ന കാലമായിരുന്നു അത്.) പ്രഗത്ഭനായ ഗണിതാധ്യാപകനും ഗണിത-ജ്യോതിശ്ശാസ്ത്രപണ്ഡിതനുമായിരുന്നു അദ്ദേഹം. 1957-ല്‍ കേരള നിയമസഭയിലേക്ക് നടന്ന ആദ്യതെരഞ്ഞെടുപ്പില്‍ ഗുരുവായൂര്‍ മണ്ഡലത്തില്‍നിന്ന് കമ്യൂണിസ്റ്റുപാര്‍ട്ടി സ്വതന്ത്രനായി കോരുമാസ്റ്റര്‍ തെരഞ്ഞെടുക്കപ്പെട്ടിട്ടുണ്ട്. സംസ്‌കൃതത്തില്‍ പദ്യരൂപത്തിലാണല്ലൊ ലീലാവതിയുടെ രചന. അത് വളരെ സരളവും ലളിതവുമായി മലയാളത്തില്‍ വ്യാഖ്യാനിക്കുകയാണ് കോരുമാസ്റ്റര്‍ ചെയ്തിട്ടുള്ളത്. ആറേഴുശതകക്കാലം ഇന്ത്യയിലെമ്പാടും ഒരു അടിസ്ഥാന ഗണിതപഠനഗ്രന്ഥമായിരുന്നു ലീലാവതി. ഇത്രയും പ്രചുരപ്രചാരമാര്‍ന്ന കൃതിക്ക് മലയാളത്തില്‍ ഒരു വ്യാഖ്യാനമില്ലാത്തതിന്റെ പോരായ്മ പരിഹരിക്കുകയാണ് കോരുമാസ്റ്റര്‍ ചെയ്തത്. സംഗമഗ്രാമമാധവന്‍ ഉള്‍പ്പെടെയുള്ള ഗണിതശാസ്ത്രപണ്ഡിതന്മാരുടെ ജന്മംകൊണ്ടും കര്‍മംകൊണ്ടും ഒരുകാലത്ത് ഗണിതശാസ്ത്രമേഖലയില്‍ വളരെ ഉന്നതനിലയിലായിരുന്ന കേരളം പില്‍ക്കാലത്ത് വളരെ പിറകോട്ട് പോയ കാര്യം സൂചിപ്പിച്ചുകൊണ്ട്, ആ ഉല്‍ബുദ്ധത വീണ്ടെടുക്കുവാനുള്ള തന്റെ ആഗ്രഹമാണ് ഈ വ്യാഖ്യാനത്തിലൂടെ അദ്ദേഹം പ്രകടിപ്പിക്കുന്നത്.

മൂന്ന് ഖണ്ഡങ്ങളിലായി 34 പ്രകരണങ്ങളാണ് ഈ കൃതിയിലുള്ളത്. അക്കാലത്തെ എല്ലാ പണ്ഡിതന്മാരെയുംപോലെ ദേവതാവന്ദനത്തിനുശേഷം താന്‍ ചെയ്യുവാന്‍ പോകുന്ന പ്രവൃത്തിയെയും അതിന്റെ സ്വഭാവത്തെയും വ്യക്തമാക്കുകയാണ് മംഗളാചരണപദ്യത്തില്‍.

പ്രീതിം ഭക്തജനസ്യ യോ ജനയതേ
വിഘ്‌നം വിനിഘ്‌നന്‍ സ്മൃത-
സ്തം വൃന്ദാരകവൃന്ദവന്ദിതപരം
നത്വാ മതംഗാനനം
പാടീം സദ്ഗണിതസ്യ വച്മി ചതുര-
പ്രീതിപ്രദാം പ്രസ്ഫുടാം
സംക്ഷിപ്താക്ഷരകോമളാമലപദൈര്‍-
ലാളിത്യലീലാവതീം.

സാരം : യാതൊരുത്തന്റെ സ്മരണകൊണ്ട് വിഘ്‌നങ്ങളെല്ലാം നശിച്ച് ഭക്തന്മാര്‍ക്ക് പ്രീതിയുണ്ടാകുന്നുവോ, ദേവഗണങ്ങളാല്‍ വന്ദിക്കപ്പെടുന്ന പാദങ്ങളോടുകൂടിയ ആ ഗണപതിയെ നമസ്‌കരിച്ച് വളരെ സ്പഷ്ടമായതും സമര്‍ത്ഥന്മാരെ സന്തോഷിപ്പിക്കുന്നതും ലാളിത്യലീലകളോടുകൂടിയതും ആയ പാടീഗണിതത്തെ സംക്ഷിപ്തവും നിര്‍മലവും സുന്ദരവുമായ പദങ്ങളെക്കൊണ്ട് ഞാന്‍ പറയുന്നു (വ്യാഖ്യാനം)
ഇവിടെ ലീലാവതി എന്ന ഗ്രന്ഥനാമം പരോക്ഷമായി പരാമൃഷ്ടമായിട്ടുണ്ടെന്ന് കാണാം. വ്യാഖ്യാനത്തെത്തുടര്‍ന്ന്, ആവശ്യമായ  വിശദീകരണങ്ങളും നല്‍കുന്നുണ്ട്. ഇങ്ങനെയുള്ള വിശദീകരണങ്ങളില്‍, കോരുമാസ്റ്ററുടെ അപാരമായ ഗണിതശാസ്ത്രപാണ്ഡിത്യം നമുക്ക് ദര്‍ശിക്കാനാവും.
അക്കങ്ങളെക്കൊണ്ടുള്ള ഗണിതം എന്നര്‍ത്ഥമുള്ള അങ്കഗണിതമാണ് പ്രതിപാദ്യവിഷയം. അങ്കഗണിതത്തെ പാടീഗണിതമെന്നാണ് ഇവിടെ വിശേഷിപ്പിക്കുന്നത്. പാടി എന്നാല്‍ പലക എന്നര്‍ത്ഥം. ഒരു പലകമേല്‍ എഴുതിയോ കവിടി നിരത്തിയോ ചെയ്യുന്ന ഗണിതം എന്നായിരിക്കാം അര്‍ത്ഥം എന്നും മണലില്‍ എഴുതി ചെയ്യുന്നതിനാല്‍ ധൂളീഗണിതമെന്നും ഇതിനെ പറയാറുണ്ടെന്നും വ്യാഖ്യാതാവ് വിശദീകരിക്കുന്നുണ്ട്.
അങ്കഗണിതത്തിന് സാധാരണജീവിതത്തില്‍ വളരെയധികം ഉപയോഗമുള്ളതിനാല്‍ അക്കാലത്ത് നടപ്പുണ്ടായിരുന്ന അളവുകളുടെയും തൂക്കങ്ങളുടെയും പണത്തിന്റെയും പട്ടികകളാണ് രണ്ടാംപ്രകരണമായ ‘പരിഭാഷ’യില്‍ നല്‍കിയിട്ടുള്ളത്.
പണത്തിന്റെ പട്ടിക ഇങ്ങനെയാണ്:

20 വരാടകം =  1 കാകിണി
4 കാകിണി =  1 പണം
16 പണം =  1 ദ്രമ്മം
16 ദ്രമ്മം =  1 നിഷ്‌കം

വരാടകം എന്നാല്‍ കവിടിയാണ്. പണ്ടുകാലത്ത് പല പ്രദേശങ്ങളിലും കവിടി പണമായി ഉപയോഗിച്ചിരുന്നുവത്രെ.
തൂക്കത്തിന്റെ ഒരു പട്ടിക ഇതാണ്:

2 യവം =  1 ഗുഞ്ജം
3 ഗുഞ്ജം =  1 വല്ലം
8 വല്ലം =  1 ധരണം
2 ധരണം =  1 ഗദ്യാണകം
14 വല്ലം =  1 ധടകം

മറ്റൊരു തൂക്കപ്പട്ടിക ഇങ്ങനെയാണ്:

5 ഗുഞ്ജം =  1 മാഷം
16 മാഷം =  1 കര്‍ഷം
4 കര്‍ഷം   = ~1 പലം

ഗുഞ്ജം കുന്നിക്കുരുവാണ്. മാഷം ഉഴുന്നാണ്.
ഇനി നീളത്തിന്റെ അളവുകളാണ്.

8 യവോദരം   =  1~അംഗുലം
24 അംഗുലം   =  1 ഹസ്തം (കരം)
4 ഹസ്തം   =  1  ദണ്ഡ്
2000 ദണ്ഡ്   =  1  ക്രോശം
4 ക്രോശം   = 1 യോജന
10 ഹസ്തം   =  1 വംശം

ഇരുപത് വംശം നീളമുള്ള നാല് ഭുജങ്ങളെക്കൊണ്ട് കെട്ടിയ സമചതുരക്ഷേത്രത്തെ നിവര്‍ത്തനം  എന്നു പറയുന്നു.
പിന്നീട് ഘനപ്രമാണം ഇങ്ങനെ വിശദീകരിക്കുന്നു.

4 കുഡവം   =  1 പ്രസ്ഥം.
4 പ്രസ്ഥം     =  1 ആഢകം
4 ആഢകം =  1 ദ്രോണം
16 ദ്രോണം =  1 ഖാരിക

അളവിന്റെ പട്ടിക ഇങ്ങനെയാണ്.

¾ ഗദ്യാണകം =  1 ടങ്കം
72 ടങ്കം =  1 സേര്‍
40 സേര്‍ =  1 മണ

ഇപ്രകാരം അടിസ്ഥാന വിവരങ്ങള്‍ നല്‍കിയതിനുശേഷം ഒന്നാം ഖണ്ഡത്തിലേക്ക് പ്രവേശിക്കുകയാണ്. ആദ്യംതന്നെ സംഖ്യാസ്ഥാനങ്ങളുടെ സംജ്ഞയാണ് കൊടുത്തിട്ടുള്ളത്.

”ഏകം, ദശം, ശതം, സഹസ്രം, അയുതം, പക്ഷം, പ്രയുതം, കോടി, അര്‍ബുദം, അബ്ജം, ഖര്‍വം, നിഖര്‍വം, മഹാപത്മം, ശങ്ക, ജലധി, അന്ത്യം, മധ്യം, പരാര്‍ത്ഥം എന്നിപ്രകാരം ഉത്തരോത്തരം ദശഗുണങ്ങളായ സംഖ്യാസ്ഥാനങ്ങളുടെ പേരുകള്‍ വ്യവഹാരസൗകര്യത്തിനുവേണ്ടി പൂര്‍വന്മാരാല്‍ ഉണ്ടാക്കപ്പെട്ടു.”

തുടര്‍ന്ന് ഇക്കാര്യങ്ങള്‍ വിശദീകരിക്കുന്നുണ്ട്. 18 സ്ഥാനങ്ങളെയാണ് ഇവിടെ പറഞ്ഞിട്ടുള്ളത്. ഇവയെ വേണ്ടുംവണ്ണം ഉപയോഗപ്പെടുത്തണമെങ്കില്‍ ഒന്നുതൊട്ട് ഒമ്പതുവരെയുള്ള അക്കങ്ങള്‍ക്കു പുറമെ, ശൂന്യത്തിനും (പൂജ്യം) ഒരക്കമുണ്ടായിരിക്കണം. പൂജ്യം കണ്ടെത്തിയത് ഇന്ത്യക്കാരാണ്. അവരില്‍നിന്ന് അറബികള്‍ക്കും, അവരില്‍നിന്ന് പതിമൂന്നാംനൂറ്റാണ്ടില്‍ ഇറ്റാലിയന്‍ കച്ചവടക്കാര്‍ വഴി പാശ്ചാത്യര്‍ക്കും പൂജ്യവും മറ്റ് അക്കങ്ങളും അവയുടെ ഉപയോഗരീതികളും കിട്ടി. ഇത് ഗണിതപഠനത്തില്‍ മാത്രമല്ല, ദൈനംദിന ജീവിതത്തില്‍ പോലും ഉണ്ടാക്കിയ മാറ്റം അത്ഭുതാവഹമാണ്.

ഗണിതവിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ അക്കവും സംഖ്യയും തമ്മില്‍ വേര്‍തിരിച്ചു മനസ്സിലാക്കണമെന്ന് വ്യാഖ്യാതാവ് ഇവിടെ നിര്‍ദേശിക്കുന്നുണ്ട്. 723 സംഖ്യയാണെന്നും 7, 2, 3 എന്നിവ ആ സംഖ്യയെ കാണിക്കുന്ന മൂന്നക്കങ്ങളാണെന്നും അദ്ദേഹം വിശദീകരിക്കുന്നു. അക്കം 9 നേക്കാള്‍ അധികം ആവില്ല, സംഖ്യ ശൂന്യംതൊട്ട് എത്രയുമാകാം.
പിന്നീട് കൂട്ടല്‍, കിഴിക്കല്‍, ഗുണനം, ഹരണം എന്നീ ചതുഷ്‌ക്രിയകളെ വിശദീകരിക്കുകയാണ്. പരികര്‍മാഷ്ടകം, ഭിന്നപരികര്‍മം, ശൂന്യപരികര്‍മം, വ്യസ്തകര്‍മം, ഇഷ്ടകര്‍മം, സംക്രമണം, വര്‍ഗകര്‍മം, ഗുണകര്‍മം, ത്രൈരാശികം, ഭാണ്ഡപ്രതിഭാണ്ഡകം, മിശ്രവ്യവഹാരം, ഛന്ദശ്ചിത്യാദി, ശ്രേഢീവ്യവഹാരം ഇവയാണ് ഒന്നാം ഖണ്ഡത്തിലെ പ്രതിപാദ്യവിഷയങ്ങള്‍. ഈ ഖണ്ഡത്തില്‍ വ്യാഖ്യാതാവ് സിദ്ധാന്തശിരോമണിയുടെ രണ്ടാംഭാഗമായ ബീജഗണിതത്തില്‍നിന്നുള്ള ചില ഭാഗങ്ങള്‍ എടുത്ത് ചേര്‍ത്തിട്ടുണ്ട്. (രണ്ടാംഭാഗത്തിന് പൂര്‍ണമായും ഒരു വ്യാഖ്യാനം കോരുമാസ്റ്റര്‍ തന്നെ തയ്യാറാക്കിയിട്ടുണ്ട്.) അതിനുള്ള അദ്ദേഹത്തിന്റെ യുക്തി ഇതാണ്: ”വ്യാഖ്യാതാവ് ഗണിതസൂത്രങ്ങളുടെ യുക്തി വിശദമാക്കുന്നില്ലെങ്കില്‍ വ്യാഖ്യാനത്തിന് യോഗ്യതയാവട്ടെ, ശാസ്ത്രസംബന്ധമായ വിലയാവട്ടെ ഇല്ല എന്നോര്‍ത്ത് ഈ വ്യാഖ്യാതാവ് യുക്തി വിശദമാക്കണമെന്ന് തീര്‍ച്ചപ്പെടുത്തുകയും അതിനുവേണ്ടി അല്പം ബീജഗണിതം ഇവിടെ പ്രതിപാദിക്കുകയും ചെയ്യുന്നു. എന്നാല്‍ ഇവിടെ പ്രതിപാദിക്കുന്നത് ഭാരതീയവും ഭാസ്‌കരീയവും തന്നെയായിരിക്കട്ടെ എന്നു കരുതി, ആചാര്യന്റെ ബീജഗണിതത്തില്‍നിന്ന് അത്യാവശ്യമായ ചില ഭാഗങ്ങളെയാണ് ഇവിടെ കൊടുക്കുന്നത്.”
രണ്ടാംഖണ്ഡത്തിലെ വിഷയം ക്ഷേത്രവ്യവഹാരമാണ്. ജ്യാമിതി അഥവാ ജ്യോമട്രിയുമായി ബന്ധപ്പെട്ട കാര്യങ്ങള്‍ ആണ് ഇതില്‍ പ്രതിപാദിക്കുന്നത്. ഭുജകോടി കര്‍ണാനയനം, ക്ഷേത്രഫലാനയനം, സൂചീക്ഷേത്രം, വൃത്തവ്യവഹാരം, ശരജീവാനയനം, വൃത്തഗതസമക്ഷേത്ര ഭുജാനയനം, സ്ഥൂലജീവാനയനം ഇവയാണ് ഇതിലെ പ്രകരണങ്ങള്‍.

മൂന്നാംഖണ്ഡത്തില്‍ എട്ടു പ്രകരണങ്ങളുണ്ട്. ഖാതവ്യവഹാരം, ചിതിവ്യവഹാരം, ക്രകചവ്യവഹാരം, രാശീവ്യവഹാരം, ഛായാവ്യവഹാരം, കുട്ടകവ്യവഹാരം, ഗണിതപാശം, ഉപസംഹാരം എന്നിങ്ങനെയാണ് ഈ പ്രകരണങ്ങള്‍ക്ക് പേര് നല്‍കിയിരിക്കുന്നത്. ഉള്ളടക്കത്തിന്റെ സൂചന പ്രകരണനാമങ്ങളില്‍നിന്നുതന്നെ ലഭിക്കുന്നുണ്ടല്ലോ. ഏറ്റവും അഭിനന്ദനീയമായ കാര്യം, ഗ്രന്ഥത്തിലെ ഓരോ പ്രകരണത്തിന്റെയും തുടക്കത്തില്‍ അതിലെ പ്രതിപാദ്യവിഷയമെന്താണെന്ന് വളരെ ലളിതമായി പറഞ്ഞതിനുശേഷമേ ഓരോ സൂത്രത്തിലേക്കും അതിന്റെ വ്യാഖ്യാനത്തിലേക്കും തുടര്‍ന്ന് വിശദീകരണത്തിലേക്കും വ്യാഖ്യാതാവ് കടക്കുന്നുള്ളൂ എന്നതാണ്. തന്മൂലം ഏതൊരു വായനക്കാരനും ഈ കൃതി വായിച്ച് മനസ്സിലാക്കാന്‍ സാധിക്കുന്നു എന്നത് ഈ വ്യാഖ്യാനത്തിന്റെ എടുത്തുപറയേണ്ട മേന്മയാണ്. ഒരുദാഹരണം നോക്കുക. ക്രകചവ്യവഹാരപ്രകരണം തുടങ്ങുന്നത് ഇപ്രകാരമാണ്: ”ക്രകചം എന്നുവച്ചാല്‍ ഈര്‍ച്ചവാള്‍. ഇതുകൊണ്ട് മരം ഈര്‍ന്നാല്‍ വാളുപോയ പ്രദേശത്തിന്റെ ക്ഷേത്രഫലം അനുസരിച്ച് ഈര്‍ച്ചക്കാരന്റെ യത്‌നം കണക്കാക്കണം. കരിപുരട്ടിയ നൂലുകൊണ്ട് അടയാളമിട്ട് ആ വഴിക്കാണല്ലോ അറക്കുക. എത്ര വരികള്‍ അളന്നിട്ടുണ്ട് എന്നുള്ളതിന് അത്ര നൂല്‍ എന്നു പറയുന്നു. അറത്ത മരത്തിന്റെ വീതിയിലുള്ള അംഗുലസംഖ്യയും നീളത്തിലുള്ള കോലുകളുടെ സംഖ്യയും നൂലുകളുടെ എണ്ണവും കൂട്ടിപ്പെരുക്കിയതിന്ന് നാട്ടില്‍ ”പെരുക്ക്” എന്നു പറയുന്നു. 24 പെരുക്കിന് 1 തൂടയും 24 തൂടയ്ക്ക് 1 കണ്ടിയുമാകുന്നു. ഇതിന്ന് നാട്ടില്‍ ഈര്‍ച്ചക്കണ്ടിയെന്നു പറയുന്നു. ഈര്‍ച്ചക്കണ്ടി ക്ഷേത്രഫലമാകുന്നു. 1 തൂടമെന്നത് 1 ചതുരശ്രകോലെന്ന് വ്യക്തം. 1 അംഗുലം വീതിയും 1 അംഗുലം ഘനവും 1 കോല്‍ നീളവുമുള്ള മരത്തിന്റെ ഘനപരിമാണത്തെയും പെരുക്കെന്നു പറയും. അങ്ങനത്തെ 24 പെരുക്കങ്ങള്‍ 1 തൂട. 24 തൂട ഒരു കണ്ടി. ഇവിടെ കണ്ടിയെന്നത് 1 കോല് നീളം, 1 കോല് വീതി, 1 കോല് ഉയരം ഉള്ള മരത്തിന്റെ ഘനമാനമാകുന്നു.”

ഗ്രന്ഥാവസാനത്തില്‍ 3 അനുബന്ധങ്ങളുണ്ട്. സംഖ്യാസൂചനരീതികളാണ് ആദ്യാനുബന്ധം. ഭാസ്‌കരാചാര്യന്റെയും ആര്യഭടന്റെയും കണ്ടെത്തലുകളുടെ സഹായത്തോടെയാണ് ഈ ഭാഗം തയ്യാറാക്കിയിട്ടുള്ളത്. വിഭൂതിഭൂഷന്‍ ദത്തയുടെയും അവദേഷ് നാരായണ്‍സിങ്ങിന്റെയും ഹിന്ദുഗണിതശാസ്ത്രചരിത്രം ഒന്നാംഭാഗവും പ്രയോജനപ്പെടുത്തിയിട്ടുണ്ട്.

ചില ക്ഷേത്രധര്‍മങ്ങളാണ് രണ്ടാം അനുബന്ധം. കോണുകളെക്കുറിച്ച് വിശദീകരിച്ചതിനുശേഷം ത്രികോണങ്ങളെക്കുറിച്ചും അവയുടെ ധര്‍മങ്ങളെക്കുറിച്ചുമെല്ലാം സാമാന്യം വിസ്തരിച്ച് ഈ ഭാഗത്ത് ചര്‍ച്ച ചെയ്യുന്നുണ്ട്. ഗണിതവിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ ക്ഷേത്രങ്ങളുടെ സ്വഭാവത്തെക്കുറിച്ച് വിശദമായി അറിഞ്ഞിരിക്കണമെന്നും അത് കാര്യങ്ങള്‍ മനസ്സിലാക്കാനുള്ള അവരുടെ കഴിവിനെ വര്‍ധിപ്പിക്കുമെന്നും സൂചിപ്പിച്ചുകൊണ്ടാണ് കോരുമാസ്റ്റര്‍ ഇക്കാര്യങ്ങള്‍ വിശദീകരിക്കുന്നത്.
‘വൃത്തഗതചതുരശ്രകര്‍ണാദ്യാനയനം‘ ആണ് മൂന്നാം അനുബന്ധം. വൃത്തഗതചതുരശ്രത്തിലെ കര്‍ണങ്ങളെ വരുത്താനുള്ള സൂത്രത്തെക്കുറിച്ചാണ് ഈ ഭാഗത്ത് വിശദീകരിക്കുന്നത്. ബ്രഹ്മഗുപ്തന്റെ ബ്രഹ്മസ്ഫുടസിദ്ധാന്തമെന്ന വിഖ്യാതകൃതിയിലെ സൂത്രങ്ങളുടെ സഹായത്തോടെയാണ് ഈ ഭാഗം തയ്യാറാക്കിയിട്ടുള്ളത്.
തന്റെ മകളെയും ഒരു വ്യാപാരിയെയും ഒരു ഗണിതപണ്ഡിതനെയും അഭിസംബോധന ചെയ്തുകൊണ്ട് ഗണിതം വളരെ കൗതുകകരമായി അവതരിപ്പിക്കുന്ന രീതിയാണ് ഈ കൃതിയില്‍ ഭാസ്‌കരാചാര്യര്‍ അവലംബിച്ചിട്ടുള്ളത്. ഈ പ്രൗഢമായ ഗണിതഗ്രന്ഥത്തിന്റെ പാരായണം രസകരമായ അനുഭവമാക്കി മാറ്റുവാന്‍ ഈ രീതി സഹായിക്കുന്നുണ്ട്. സാധാരണയായി വിരസവും ശുഷ്‌കവുമായ ആവിഷ്‌കാരമാണ് ഗണിതഗ്രന്ഥങ്ങളില്‍ കാണാറുള്ളത്. (പൊതുവെ ഗണിതപഠനവും ഈ മട്ടില്‍ത്തന്നെയാണ്. വളരെ പ്രസിദ്ധമായ ഒരു ഗണിതഗ്രന്ഥമാണ് ലാന്‍സലട്ട് ഹോഗ്‌ബെന്റെ ഗണിതം ജനലക്ഷങ്ങള്‍ക്ക് (മാത്തമാറ്റിക്‌സ് ഫോര്‍ ദ മില്യന്‍) ചരിത്രത്തിന്റെയും കഥകളുടെയുമൊക്കെ സഹായത്തോടെയാണ്  ഈ ഗ്രന്ഥത്തില്‍ ഗണിതം അവതരിപ്പിച്ചിട്ടുള്ളത്. ബാല്യകാലത്ത് ഈ ഗ്രന്ഥം വായിക്കാന്‍ തനിക്ക് സാധിച്ചിരുന്നുവെങ്കില്‍ താന്‍ തീര്‍ച്ചയായും ഗണിതം പഠിക്കുമായിരുന്നുവെന്ന് പി.ഗോവിന്ദപ്പിള്ള പറഞ്ഞതായി സി.പി.നാരായണന്‍ എഴുതിയിട്ടുണ്ട്. എത്ര ഗഹനവും സങ്കീര്‍ണവുമായ വിഷയവും ലളിതമായി ആസ്വാദ്യമായി അവതരിപ്പിക്കാന്‍ കഴിഞ്ഞാല്‍ സ്വാഭാവികമായും വിദ്യാര്‍ത്ഥികള്‍ ആ വിഷയത്തിലേക്ക് ആകൃഷ്ടരാകും. ശാസ്ത്രസാഹിത്യപരിഷത്തും മറ്റും മുന്നോട്ടുവയ്ക്കുന്ന പഠനം പാല്‍പ്പായസമാക്കുകയെന്ന ആശയത്തിന്റെ അന്തഃസത്ത ഇതാണ്.)  എന്നാല്‍ അവയില്‍നിന്ന് തീര്‍ത്തും വ്യത്യസ്തമാണ് ഈ കൃതി. ഇക്കാര്യം ബോധ്യപ്പെടുത്തുന്നതിന് ഉദാഹരണങ്ങള്‍ കൂടിയേ കഴിയൂ എന്നുള്ളതുകൊണ്ട് ഏതാനും പദ്യങ്ങളുടെ വ്യാഖ്യാനം ഇവിടെ കൊടുക്കുകയാണ്.

  1. അല്ലയോ ബുദ്ധിമതിയായ ബാലേ, ലീലാവതീ, വ്യക്തഗണിതത്തില്‍ യോഗവിയോഗമാര്‍ഗങ്ങളില്‍  കുശലയാണെങ്കില്‍ 2, 5, 32, 193, 18, 10, 100 ഇവയെല്ലാം കൂടി കൂട്ടിയതും ആ ഫലത്തെ 10,000 ത്തില്‍നിന്നും കളഞ്ഞ ശിഷ്ടവും എന്നോട് പറയുക.
  2. സ്‌നേഹിതാ, അഞ്ചിലൊന്ന്, കാല്, മൂന്നിലൊന്ന്, അര, ആറിലൊന്ന് ഇവയെ ഒന്നിച്ചുചേര്‍ത്ത് പറയുക. ഈ ഭാഗങ്ങളെ മൂന്നില്‍നിന്ന് കളഞ്ഞശേഷം എന്തെന്നും വേഗം പറയുക.
  3. ആനക്കൂട്ടത്തിന്റെ പകുതിയും പകുതിയുടെ മൂന്നിലൊന്നും കാട്ടിനുള്ളില്‍ പോയതായിക്കണ്ടു. ആറിലൊന്നും അതിന്റെ ഏഴിലൊന്നും കൂടി നദിയില്‍ വെള്ളം കുടിച്ചിരുന്നു. എട്ടിലൊന്നും അതിന്റെ ഒമ്പതിലൊന്നും കൂടി താമരപ്പൊയ്കയില്‍ കളിച്ചിരുന്നു. മൂന്നു പിടിയാനകളാല്‍ അനുഗതനായി അനുരാഗത്തോടുകൂടിയ ഒരു കൂറ്റന്‍ കൊമ്പനാന അവിടെ കളിക്കുന്നതായും കണ്ടാല്‍ ആ കൂട്ടത്തില്‍ ആകെ എത്ര ആനകളുണ്ട്?
  4. നിര്‍മലമായ താമരപ്പൂക്കളില്‍ മൂന്നിലൊരംശം കൊണ്ട് ശിവനെയും അഞ്ചിലൊരംശംകൊണ്ട് വിഷ്ണുവിനെയും ആറിലൊരംശംകൊണ്ട് സൂര്യനെയും നാലിലൊരംശംകൊണ്ട് ഭഗവതിയെയും പൂജിച്ച് ശേഷിച്ച 6 എണ്ണംകൊണ്ട് ഗുരുപാദങ്ങളെയും പൂജിച്ചു. ആ ഉപാസകന്റെ കൈവശം എത്ര താമരപ്പൂക്കള്‍ ഉണ്ടായിരുന്നു?
  5. ബാലേ, ഹംസകുലമൂലാര്‍ധത്തിന്റെ ഏഴുമടങ്ങ് തീരത്തില്‍ വിനോദഭരിതരായി പതുക്കെ നടക്കുന്നതുകണ്ടു. ബാക്കിയുള്ള 2 കളഹംസങ്ങളെ ജലത്തില്‍ കേളീകലഹത്തില്‍ ഏര്‍പ്പെട്ടതായും കണ്ടു. എന്നാല്‍ ഹംസകുലപ്രമാണത്തെ പറയുക?

ഇങ്ങനെ ഗണിതപ്രശ്‌നങ്ങള്‍ ചര്‍ച്ചചെയ്യുമ്പോള്‍ ഇടയ്ക്കിടെ കൗതുകകരമായ ഉദാഹരണങ്ങള്‍ ചേര്‍ത്തിരിക്കുന്നത് ഗ്രന്ഥത്തിന്റെ വായനയും പഠനവും മാനസികോല്ലാസം നല്‍കുന്ന ഒരു അനുഭവമാക്കി മാറ്റുന്നു. ഈ മഹത്തായ കൃതിയുടെ പുനഃപ്രസിദ്ധീകരണം ശ്രേഷ്ഠമായ ഒരു ഭാഷാസേവനമായിരിക്കും; നമ്മുടെ വൈജ്ഞാനിക സാഹിത്യത്തിന് വലിയ മുതല്‍ക്കൂട്ടായിരിക്കും.

Leave a Reply